高三数学一轮总复习 第七章 立体几何 7.6 空间向量及其运算开卷速查

开卷速查(四十五)空间向量及其运算A级基础巩固练1有下列4个命题：若pxayb，则p与a，b共面；若p与a，b共面， 则pxayb；若xy，则P，M，A，B共面；若P，M，A，B共面，则xy。其中真命题的个数是()A1B2C3 D4解析：正确。中若a，b共线，p与a不共线，则pxayb就不成立。正确。中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则xy不正确。答案：B2在空间四边形ABCD中，()A1 B0C1 D不确定解析：如图，选取不共面的向量，为基底，则原式()()()0。答案：B3平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、两两的夹角均为60，且|1，|2，|3，则|等于()A5 B6C4 D8解析：设a，b，c，则abc，2a2b2c22ab2bc2ca25，因此|5。答案：A4平行六面体ABCDABCD中，若x2y3z，则xyz()A1 B.C. D.解析：x2y3z，故x1，y，z，xyz1。 答案：B5若A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，M为BC中点，则AMD是()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不确定解析：M为BC中点，()。()0。AMAD，AMD为直角三角形。答案：C6已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，4 B.，4C.，2,4 D4，15解析：，0，即352z0，得z4。又BP平面ABC，BPAB，BPBC，(3,1,4)，则解得答案：B7若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则_。解析：由已知得，83(6)，解得2或。答案：2或8已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值为_。解析：ba(1t,2t1,0)，|ba|，当t时，|ba|取得最小值。答案：9如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若()，则_。解析：如图所示，取AC的中点G，连接EG、GF，则()，。 答案：10如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为BC1D的重心，(1)试证：A1，G，C三点共线；(2)试证：A1C平面BC1D。证明：(1)，可以证明：()，即A1，G，C三点共线。(2)设a，b，c，则|a|b|c|a，且abbcca0，abc，ca，(abc)(ca)c2a20，因此，即CA1BC1，同理CA1BD，又BD与BC1是平面BC1D内的两相交直线，故A1C平面BC1D。B级能力提升练11正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在上且，N为B1B的中点，则|为()A.a B.aC.a D.a解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N。设M(x，y，z)。点M在上且，(xa，y，z)(x，ay，az)，xa，y，z，得M，|a。 答案：A122016衡水模拟如图所示，在空间直角坐标系中，BC2，原点O是BC的中点，点A的坐标是，点D在平面yOz上，且BDC90，DCB30。(1)求向量的坐标；(2)设向量和的夹角为，求cos的值。解析：(1)如图所示，过D作DEBC，垂足为E，在RtBDC中，由BDC90，DCB30，BC2，得BD1，CD。所以DECDsin30，OEOBBDcos601。所以D点坐标为，即向量的坐标为。(2)依题意知，(0，1,0)，(0,1,0)。所以，(0,2,0)。则cos。13如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E、F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBFx，其中0xa，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz。(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1FC1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：。解析：(1)E(a，x,0)，F(ax，a,0)。(2)证明：A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，(x，a，a)，(a，xa，a)，axa(xa)a20，A1FC1E。(3)证明：A1、E、F、C1四点共面，、共面。选与为一组基向量，则存在唯一实数对(1，2)，使12，即(x，a，a)1(a，a,0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，解得1，21。于是。