高三数学一轮总复习 第七章 立体几何 7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系开卷速查

开卷速查(四十二)空间点、直线、平面之间的位置关系A级基础巩固练1已知命题：若点P不在平面内，A，B，C三点都在平面内，则P，A，B，C四点不在同一平面内；两两相交的三条直线在同一平面内；两组对边分别相等的四边形是平行四边形。其中正确命题的个数是()A0B1C2D3解析：当A，B，C三点都在平面内，且三点共线时，P，A，B，C四点在同一平面内，故错误；三棱锥的三条侧棱所在的直线两两相交，但三条直线不在同一平面内，故错误；两组对边分别相等的四边形也可能是空间四边形，故错误。答案：A2如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()AA、M、O三点共线BA、M、O、A1不共面CA、M、C、O不共面DB、B1、O、M共面解析：连接A1C1，AC，则A1C1AC，A1、C1、C、A四点共面。A1C平面ACC1A1。MA1C，M平面ACC1A1。又M平面AB1D1，M为平面ACC1A1与AB1D1的公共点。同理O、A为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点。A、M、O三点共线。 答案：A3正方体AC1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A相交B异面C平行D垂直解析：如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交。 答案：A42016合肥模拟已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是()AABCDBAB与CD异面CAB与CD相交DABCD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线。答案：D5在正四棱锥VABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为()A. B.C. D.解析：如图所示，设ACBDO，连接VO，由于四棱锥VABCD是正四棱锥，所以VO平面ABCD，故BDVO。又四边形ABCD是正方形，所以BDAC，所以BD平面VAC。所以BDVA，即异面直线VA与BD所成角的大小为。答案：D6如图，l，A，B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过()A点A B点BC点C但不过点M D点C和点M解析：因为AB，MAB，所以M。又l，Ml，所以M。由公理3知，M在与的交线上。同理可知，点C也在与的交线上。答案：D7下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_。 解析：在图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面。可证中四边形PQRS为梯形；中可证四边形PQRS为平行四边形；中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形。答案：8如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_。解析：如图，连接D1M，可证D1MDN。又A1D1DN，A1D1，MD1平面A1MD1，A1D1MD1D1，DN平面A1MD1，DNA1M，即夹角为90。答案：9092016天津模拟设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：设ab，bc，则ac；若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面。其中真命题的个数是_。解析：因为ab，bc，所以a与c可能相交，平行，异面，故错；因为a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面，相交，平行，故错；由a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面，相交，平行，故错；由a，b共面，b和c共面，则a，c可以异面，也可以共面，错。故真命题的个数为0。答案：010如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点。(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解析：(1)证明：由已知FGGA，FHHD，可得GH綊AD。又BC綊AD，GH綊BC。四边形BCHG为平行四边形。(2)方法一：由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG，四边形BEFG为平行四边形。EFBG。由(1)知BGCH，EFCH，EF与CH共面。又DFH，C、D、F、E四点共面。方法二：如图，延长FE，DC分别与AB交于点M，M，BE綊AF，B为MA中点。BC綊AD，B为MA中点。M与M重合，即FE与DC交于点M(M)。C、D、F、E四点共面。B级能力提升练112016天津模拟如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA平面ABCD，PAAB，则PB与AC所成角是()A90 B45 C60 D30解析：过点B作BE綊CA，连接AE，PE，由已知PAB及BAE和PAE均为全等的等腰直角三角形，因此PBE为等边三角形，所以PB与AC所成的角为60。答案：C122016开封模拟已知点E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有()A0条 B1条C2条 D无数条解析：与平面ABCD平行，而且与线段D1E，C1F分别相交于M，N的平面有无数多，所以直线MN有无数条。答案：D13设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1, 和a，且长为a的棱与长为 的棱异面，则a的取值范围是()A(0，) B(0，)C(1，) D(1，)解析：如图所示的四面体ABCD中，设ABa，则由题意可得CD，其他边的长都为1，故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形，显然a>0。取CD中点E，连接AE，BE，则AECD，BECD且AEBE ，显然A，B，E三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2>a，解得0<a<。答案：A14(1)已知异面直线a与b所成的角60，P为空间一点，则过P点与a和b所成角45的直线有几条？(2)已知异面直线a与b所成的角60，P为空间一点，则过P点与a和b所成角60的直线有几条？(3)已知异面直线a与b所成的角60，P为空间一点，则过P点与a与b所成角70的直线有几条？解析：过点P作直线aa，bb，且a与b所确定的平面为。(1)过P点在平面外存在两条直线与a、b所成的角为45。(2)过P点在平面内存在一条直线(120的角平分线)与a、b所成的角为60；过P点在平面外存在两条直线与a、b所成的角为60，则与a、b所成的角为60的直线有3条。(3)过P点在平面外a、b成60夹角平分线上、下存在两条直线与a、b所成的角为70，过P点在平面外a、b成120夹角平分线上、下存在两条直线与a、b所成的角为70，则与a、b所成的角为70的直线有4条。15如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC60，PAABAC2，E是PC的中点。(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱锥AEBC的体积。解析：(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为。因为A，B，E，所以平面即为平面ABE，所以P平面ABE，这与P平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线。(2)取BC的中点F，连接EF，AF，则EFPB，所以AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成的角，因为BAC60，PAABAC2，PA平面ABC，所以AF，AE，EF，cosAEF，所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为。(3)因为E是PC的中点，所以点E到平面ABC的距离为PA1，VAEBCVEABC1。