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人教版高中数学必修五课件:2-1 第2课时 数列的通项公式与递推公式

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人教版高中数学必修五课件:2-1 第2课时 数列的通项公式与递推公式

第2课时 数列的通项公式与递推公式,按照一定顺序排列的一列数称为数列.,(数列具有有序性、可重复性、确定性),1.数列的定义:,2.数列与函数的关系:,数列可以看成以正整数集 (或它的有限子集 1,2,n)为定义域的函数 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. 反过来,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,)有意义,那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),f(n),,1.了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式;(重点),2.了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同; 3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式. (难点),我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项.,探究点1 数列的通项公式,注:数列与函数的关系,y=f(x),an,n,(正整数集N或它的有限子集1,2,3, ,n),项,通项公式,函数值,自变量,如果数列 的第n项与序号n之间的关系可以用一个 式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.,【即时练习】,写出下面数列的一个通项公式:,例1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:,【解析】(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数,并且奇数项为正,偶数项为负,所以,它的一个通项公式为,通项公式不唯一,(2)这个数列的前4项构成一个摆动数列,奇数项是2,偶数项是0,所以,它的一个通项公式为,【互动探究】1.根据数列的前若干项写出的通项公式的形式唯一吗?请举例说明.,提示:不一定唯一.,.,2.根据数列的前若干项一定能写出通项公式吗?请举例说明.,提示:不一定能写出.,【解析】列表:,已知数列 的通项公式为 ,用列表 写出这个数列 的前5项,并作出图象.,【变式练习】,O 1 2 3 4 5 6 7,10 9 8 7 6 5 4 3 2 1,an=2n-1,n,图象如下:,图象是一群孤立的点,例2 图中的三角形图案称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形图案中,着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项,请写出这个数列的一个通项公式,并在直角坐标系中画出它的图象.,【解析】如图,这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.所以,这个数列的一个通项公式是,在直角坐标系中的图象如图所示.,.,O,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,1,2,3,4,根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1)3,5,7,9,11,. (3)0,1,0,1,0,1,. (5)7,77,777,7777,.,【变式练习】,探究点2 数列的递推公式,1.观察以下数列,并写出其通项公式:,思考:除用通项公式外,还有什么办法可以确定这些数列的每一项?,(1)1,3,5,7,9,11, (2)0,-2,-4,-6,-8, (3)3,9,27,81,,2.观察钢管堆放示意图,寻其规律,建立数学模型.,模型一:自上而下,第1层钢管数为4,即 第2层钢管数为5,即 第3层钢管数为6,即 第4层钢管数为7,即 第5层钢管数为8,即,模型二:上下层之间的关系,自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,,对于上述所求关系,若知其第n-1项,即可求出其他项,看来,这一关系也较为重要.,在数列an中,已知a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n1)写出此数列的前六项. 【解题关键】通过观察,此题的递推公式是数列中相邻三项的关系式,知道前两项就可以求出后一项. 【解析】a1=2,a2=3, a3=3a2-2a1=33-22=5, a4=3a3-2a2=35-23=9, a5=3a4-2a3=39-25=17, a6=3a5-2a4=317-29=33.,【即时练习】,【互动探究】已知数列an的第一项是1,以后各项由公式an-1=2an-2给出,写出这个数列的前五项. 【解题关键】可先将公式变形为an=1+ an-1.根据递推公式写出数列的前几项,可由a1=1及a2=1+ a1,求出a2这一步是解题的关键. 【解析】an-1=2an-2, an=1+ an-1.又a1=1,a2= a3= a4= a5=,例3 设数列an满足,写出这个数列的前5项.,【解析】由题意可知,【变式练习】,1.数列an中,a1=-1,an+1=an-3,则a3等于( ) (A)-7 (B)-4 (C)-1 (D)2 【解析】选A.a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4-3=-7.,A,2.数列0,2,4,6,的递推公式可以是( ) (A)an+1=an+2 (B)an+1=2an (C)an+1=an,a1=0 (D)an+1=an+2,a1=0 【解析】选D.选项A、B中没有明确a1的大小,故选项A、B不是;选项C中,a2=0, a3=0,a4=0,则选项C不是;选项D中,a2=2,a3=4,a4=6,则选项D是正确的.,D,3.下列数列满足an+1= 的是( ) (A)1,1,1,1, (B)2,2,2,2, (C)3,1,3,1, (D)-1,1,-1,1, 【解析】选A.因为选项A中, a1=1,an+1= 则能依次求出a2=a3=a4=1.,A,5.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式.,2. 递推公式与数列的通项公式的区别是:,1. 通项公式、递推公式的概念;,(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系,而递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系.,(2)对于通项公式,只要将公式中的n依次取1, 2, 3, 4,即可得到相应的项,而递推公式则要已知首项(或前几项),才可依次求出其他项.,3.数列通项公式与递推公式的区别与联系,区别,联系,项an及相邻项间的关系式,都是数列的一种表 示方法,可求出数 列中任意一项,通项 公式,递推 公式,区别,项an是序号n的函数式an=f(n),一句经典的读书名言,往往会让人眼睛为之一亮;一句经典的读书名言,往往会给人以启迪和教育;一句经典的读书名言,往往会影响人的一生。,

注意事项

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