446编号高中立体几何证明方法及例题

1. 空间角与空间距离 在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线 面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算” ，即在添置必要 的辅助线或辅助面后， 通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量， 最 后再计算。 2. 立体几体的探索性问题 立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现， 这种题型有利于考查学生归纳、 判 断等方面的能力， 也有利于创新意识的培养。 近几年立体几何探索题考查的类型主要有 ： （1） 探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的 结论是什么。 对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先 通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为 代数问题，探索出命题成立的条件。 对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外 还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。 （一）平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中 ： 低一级位置关系判定高一 级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： 线线线面面面 公理 4 (a/b,b/c ac/ /) 线面平行判定 / , / ab ab 面面平行判定 1 ab ab a / , / 面面平行性质 ab abA ab , /,/ / 线面平行性质 a a b ab / / 面面平行性质 1 / / a a 面面平行性质 / / / A b a a b 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： 线线线面面面 三垂线定理、逆定理 PAAOPO a a OAa PO a POa AO ,为 在 内射影 则 线面垂直判定 1面面垂直判定 a b abO l a l b l , , a a 线面垂直定义 l a l a 面面垂直性质，推论 2 b aa b a , a a 面面垂直定义 ll，且二面角 成直二面角 3. 平行与垂直关系的转化： 线线线面面面 线面垂直判定 2面面平行判定 2 线面垂直性质 2 面面平行性质 3 ab a b / / a b ab / / a a / / / / a a a 4. 应用以上“转化”的基本思路“由求证想判定，由已知想性质。 ” 5. 唯一性结论： 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角：090 （2）直线与平面所成的角：090 （时， 或） 0bb （3）二面角：二面角的平面角，0180 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角； （2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。 （三）空间距离： 求点到直线的距离， 经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线， 然后在相关三角形中求 解。 求点到面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性 质求之也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离，直线与平面的距离，面面距离都可转化为 点到面的距离。 【典型例题】【典型例题】 （一）与角有关的问题 例 1. （1） 如图， E、 F 分别为三棱锥 PABC 的棱 AP、 BC 的中点， PC10， AB6， EF7， 则异面直线 AB 与 PC 所成的角为（ ） A. 60B. 45C. 30D. 120 解：解：取 AC 中点 G，连结 EG、FG，则 EGPCFGAB， 1 2 1 2 EGF 为 AB 与 PC 所成的角 在EGF 中，由余弦定理， cos EGF EGFGEF EGFG 222222 2 537 253 1 2 AB 与 PC 所成的角为 18012060 选 A （2）已知正四棱锥以棱长为 1 的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面 积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（ ） ABCD. 13 13 3 6 3 3 26 26 解：解： 设正四棱锥的高为 ，斜高为hhh 2 2 1 2 由题意： 1 2 41 1 2 161 2 2 22 h h26 侧棱长PBhOB 22 2 6 2 2 26 2 cosPBO OB PB 2 2 26 2 13 13 选 A （ ）如图，在正方体中， 为上的一个定点， 为3 111111 ABCDA B C DPA DQ A BEFCDEF 11上的任意一点， 、 为 上任意两点，且的长为定值，有下列命题： 点 P 到平面 QEF 的距离为定值； 直线 PQ 与平面 PEF 所成的角为定值； 二面角 PEFQ 的大小为定值； 三棱锥 PQEF 的体积为定值 其中正确命题的序号是_。 解：解：平面 即是平面QEFA B CD 11 上定点 到面的距离为定值A DPA B CD 1111 对，错 二面角 ，即面与面所成的角，且平面角为定PEFQPDFA B CDPDA 111 值，对 因为，且为定值，为定值A BDCEFS QEF11 又 点到平面的距离为定值，为定值，对PQEFVP QEF 综上，正确。 例 2. 图是一个正方体的表面展开图，MN 和 PQ 是两条面对角线，请在图（2）的正方 体中将 MN，PQ 画出来，并就这个正方体解答下列各题： （1）求 MN 和 PQ 所成角的大小； （2）求四面体 MNPQ 的体积与正方体的体积之比； （3）求二面角 MNQP 的大小。 解：解：（1）如图，作出 MN、PQ PQNC，又MNC 为正三角形 MNC60 PQ 与 MN 成角为 60 （ ）2 1 3 VVSMQ M NPQQ PMNPMN 1 6 2 1 6 1 6 正方体 SMQSMQ V PMNPMDN 即四面体 MNPQ 的体积与正方体的体积之比为 1：6 （3）连结 MA 交 PQ 于 O 点，则 MOPQ 又 NP面 PAQM，NPMO，则 MO面 PNQ 过 O 作 OENQ，连结 ME，则 MENQ MEO 为二面角 MNQP 的平面角 在 RtNMQ 中，MENQMNMQ 设正方体的棱长为 a ME aa a aMOa 2 3 6 3 2 2 ，又 在中，Rt MEOMEO MO ME a a sin 2 2 6 3 3 2 MEO60 即二面角 MNQP 的大小为 60。 例 3. 如图，已知四棱锥 PABCD，PBAD，侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形，底 面 ABCD 为菱形，侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120。 （1）求点 P 到平面 ABCD 的距离； （2）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小。 解：解：（1）作 PO平面 ABCD，垂足为 O，连结 OB、OA、OD，OB 与 AD 交于点 E， 连结 PE ADPB，ADOB（根据_） PAPD，OAOD 于是 OB 平分 AD，点 E 为 AD 中点 PEAD PEB 为面 PAD 与面 ABCD 所成二面角的平面角 PEB120，PEO60 又，PEPOPE o 3603 3 2 3 2 sin 即为 P 点到面 ABCD 的距离。 （2）由已知 ABCD 为菱形，及PAD 为边长为 2 的正三角形 PAAB2，又易证 PBBC 故取 PB 中点 G，PC 中点 F 则 AGPB，GFBC 又 BCPB，GFPB AGF 为面 APB 与面 CPB 所成的平面角 GFBCAD，AGFGAE 连结 GE，易证 AE平面 POB 又， 为中点PEBEGPB3 PEGPEB o 1 2 60 GEPE o cos603 1 2 3 2 在中，Rt AGEAEAD 1 2 1 tanGAE GE AE 3 2 GAE arctan 3 2 AGF arctan 3 2 所以所求二面角的大小为 arctan 3 2 （2）解法解法 2：如图建立直角坐标系，其中 O 为坐标原点，x 轴平行于 DA PB（ ， ，）， （ ， ）00 3 2 0 3 3 2 0 PBGAG的中点 的坐标为（ ，），连结0 3 3 4 3 4 又 （ ， ）， （， ）AC1 3 2 02 3 3 2 0 由此得到（ ，），（ ，），GAPB 1 3 4 3 4 0 3 3 2 3 2 BC （， ， ）200 于是，GAPBBCPB 00 ，GAPBBCPB 、的夹角 为所求二面角的平面角GABC 于是 cos | GABC GABC 2 7 7 所求二面角大小为 arccos 2 7 7 （二）与距离有关的问题 例 4. （1）已知在ABC 中，AB9，AC15，BAC120，它所在平面外一点 P 到ABC 三个顶点的距离都是 14，那么点 P 到平面 ABC 的距离是（ ） A. 13B. 11C. 9D. 7 解：解：设点 P 在ABC 所在平面上的射影为 O A B C O R PAPBPC，O 为ABC 的外心 ABC 中，AB9，AC15，BAC120 BC o 915291512021 22 cos 由， a A RR sin 2 21 2 3 2 7 3 PO 147 37 2 2 （ ）在直三棱柱中，222 1111 ABCA B CABBCBBABC 90EF o ， 、 分别为、的中点，沿棱柱的表面从 到 两点的最短路径的AAC BEF 111 长度为_。 解：解：（采用展开图的方法） 将平面沿旋转使两矩形与在同一平面内B BCCB BA ABBB BCC 1111111 连接，则为所求的最短路径EFEF 如图，EFA EA F 1 2 1 22 2 1 3 2 2 22 2 如图展开，EF ()21 2 2 72 2 2 2 2 如图展开，EF 3 2 1 2 1 3 2 2 22 比较这三种方式展开，可见沿表面从 到 的最短路径长度为。EF 3 2 2 点评 ：点评 ： 此类试题，求沿表面运动最短路径，应展开表面为同一平面内，则线段最短。但 必须注意的是，应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。 （3）在北纬 45圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经 140与西经 130，设 地球半径为 R，则甲、乙两地的球面距离是（ ） ARBRCRDR. 1 2 1 4 3 2 1 3 解：解： 由题意 AO B oooo 1 36014013090 （O1为小圆圆心） 又由题意 O AO BR 11 2 2 则中，1ABABR AOB 为正三角形（O 为球心） AOB 3 、 两点球面距离为ABR 3 选 D 例 5. 如图， 四棱锥 PABCD， 底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD， E、 F 分别是 AB、 PD 中点。 （1）求证：AF平面 PEC； （ ）若 ，二面角 为，求点 到平面2AD2CDP