吉林大学材料力学附录A 平面图形的几何性质课件

A.1 静矩和形心,A.3 平行移轴公式,A.4 转轴公式、主惯性矩,A2 惯性矩、惯性半径、惯性积,一 问题的提出,拉压,扭转,、与受力、截面有关， 、则与受力、截面、材料有关。,可见，构件的尺寸和形状是影响 构件承载能力的最重要因素之一。,二 什么叫平面图形的几何性质？,事实表明，对弯曲而言，其应力 不仅与截面的大小、形状有关； 而且还与截面如何放置有关，所以 要全面研究平面图形的几何性质。,横截面,平面图形,一 静矩面积对轴之矩,定义：,A.1 静矩和形心,c,二、形心,可根据静矩确立形心坐标：,1 量纲：长度3,2 S与面积的大小、分布均有关,3 与参考轴的位置有关,讨论,例A1 求直径为d的半圆形的形心,解: 取Z轴为对称轴,z,y,c,三、组合图形的静矩和形心,静矩：,形心：,例A-2 求形心坐标,z,y,b2,b1,z,t1,t2,一、惯性矩,定义：,特点：1、I恒大于0,2、量纲：长度4,二、惯性半径,定义：,y,z,o,A,三、极惯性矩,定义：,dA,结论：图形对任意一对互相垂直 的惯性矩之和等于它对该两轴交 点的极惯性矩。,四、惯性积,定义：,1. 量纲 : 长度4,2. Iyz, ,0,dA,c,惯性积一定是对一对互相垂直 坐标轴而言。,注意,特点：两个坐标轴中只要一个为 图形的对称轴，则必有,y,z,五、常用图形、i的计算,c,y,z,同理：,例A-3 已知h和b，求,z,b,h,解:,o,y,z,d,解:,例A-4 已知直径d,求,o,y,z,解:,上式中的三个积分为：,o,y,z,c,yc,y,zc,z,由以上关系可知,注意,1 两对轴必为平行轴；,2 必有一对是形心轴；,3 a、b有正、负；,结论：对所有平行轴而言，对形心轴 的惯性矩取最小值。,应用: 1 可计算平行轴的惯性矩、 惯性积；,2 可计算组合图形的惯性矩、 惯性积。,例A 已知b,h,求,o,y,z,b,h,c,解:,例A-7 求,解：取通过矩形II的形心且,平行于底边的参考轴,y,则,20,140,100,20,c,y,zc,yc,形心位置确定后，使用平行移轴公式分别,算出矩形I和矩形II对 yc轴的惯性矩，即,所以，整个图形对yc轴的惯性矩应为,o,y,z,dA,y1,z,y,y1,z1,（I）公式推导：,z1,和,代入上式，得,把,同理,（II）几个概念：,1 主轴-惯性积等于零的一对轴,2 主惯性矩-对主轴的惯性矩,3 形心主轴-过形心的主轴,4 形心主惯性矩-对形心主轴的惯性矩,可以看出：,主惯性矩,平面图形对坐标原点不变的任何一对,正交轴的惯性矩之和为一常数，即,（常数）,极值惯性矩,小 结,1 轴轴关系,对称轴 （过形心， ）,形心轴 （过形心）,主惯性轴 （ ）,形心主惯 性轴,2 轴面关系,（1）形心-一个,.,c,.,c,（3）主轴-一般情况过一点只有一对， 整个截面上有无穷对。,（2）形心轴-无穷个,（4）形心主轴-一般情况下一个截面只 有一对，特殊情况下一个截面有无穷对。,（一对）,（多于一对）,可以证明：,任何一个形心轴都是形心主,具有三个以上对称轴的截面，,惯性轴，而且对这些轴的惯,矩均相等。,.,c,.,c,