八年级上数学_全等三角形典型例题(一)

全等三角形典型例题：例1：把两个含有45角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F求证：AFBE AFBCED练习1：如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是过点A的直线，BDAE，CEAE，如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。例2： DAC, EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,EE求证：（1）AE=BD； (2)CM=CN； (3) CMN为等边三角形；（4）MNBC。DACBNM例3：（10分）已知，ABC中，BAC = 90，AB = AC，过A任作一直线l，作BDl于D，CEl于E，观察三条线段BD，CE，DE之间的数量关系如图1，当l经过BC中点时，DE = （1分），此时BD CE（1分）如图2，当l不与线段BC相交时，BD，CE，DE三者的数量关系为 ，并证明你的结论（3分）如图3，当l与线段BC相交，交点靠近B点时，BD，CE，DE三者的数量关系为 证明你的结论（4分），并画图直接写出交点靠近C点时，BD，CE，DE三者的数量关系为 （1分）ABCDElABClEDAlBC 图1 图2 图3练习1：以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边，分别向外作等边三角形ABE和等边BCF，连结EF、EC。试说明：（1）EFEC；（2）EBCF练习2：如图（1）A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，过E、F分别作DEAC，BFAC若AB=CD，G是EF的中点吗？请证明你的结论。若将 ABC的边EC经AC方向移动变为图（2）时，其余条件不变，上述结论还成立吗？为什么？图5例四：如图1，已知，ACCE，AC=CE， ABC=CDE=90，问BD=AB+ED吗?分析 ：（1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组90角，得到一组等量关系；图6（2）出现3个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系；（3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起：如如图6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到AC=BD。解答过程：得到ABCCDE之后，可得到BC=DE，AB=CD BC+CD=DE+AB（等式性质）图7 即：BD=AB+DE变形1：如图7， 如果ABCCDE，请说明AC与CE的关系。注意：两条线段的关系包括：大小关系（相等，一半，两倍之类）位置关系（垂直，平行之类）变形2：如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FAAE交CB的延长线于点F， 求证：DE=BF分析：注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。变形3：如图8，在ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是过点A的直线，BDAE，CEAE，图8如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。分析 ：说明相等的边所在的三角形全等，题中“AB=AC”，发现：AB在RtABD中，AC在RtCAE中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt全等（如图9）于是：已经存在了两组等量关系：AB=AC，直角=直角，再由多个垂直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。 解：由题意可得：在RtABD中，1+ABD=90（直角三角形的两个锐角互余）1图9 又 BAC=90（已知）， 即1+CAE=90 ABD=CAE（等角的余角相等） 故在ABD与CAE中， BDA=AEC=90（垂直定义）ABD=CAE（已求） AB=AC（已知） ABDCAE（AAS） AE=BD=7，AD=EC=3 （全等三角形的对应边相等） DE=AEAD=73=4变形4：在ABC中，ACB= 900，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E。（1）当直线MN绕点C旋转到图9的位置时，ADCCEB，且 DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？（2）当直线MN绕点C旋转到图10的位置时， DE =AD-BE。说说你的理由。图12图11（3）当直线MN绕点C旋转到图11的位置时，试问DE，AD，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。图1012等腰三角形、等边三角形的全等问题：必备知识：如右图，由1=2，可得CBE=DBA；反之，也成立。例五：已知在ABC中，AB=AC，在ADE中，AD=AE，且1=2，请问BD=CE吗？分析这类题目的难点在于，需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边，分别放入两个三角形中，看成是一组三角形的对应边， 题目中所给的ABC与ADE是用来干扰你的思路的，应该去想如何把两组相等的边联系到一起，加上所求的“BD=CE”，你会发现BD在ABD中，CE在ACE中，这样一来，“AB=AC”可以理解为：AB在ABD中，AC在ACE中，它们是一组对应边； “AD=AE”可以理解为：AD在ABD中，AE在ACE中，它们是一组对应边；21图13所以只需要说明它们的夹角相等即可。关键还是在于：说明“相等的边（角）所在的三角形全等” 解： 1=2（已知） 1+CAD=2+CAD（等式性质） 即： BAD=CAE 在ABD与ACE中， AB=AC（已知） BAD=CAE（已求） AD=AE21图14 ABDACE（SAS） BD=CE（全等三角形的对应边相等）变形1：如图14，已知BAC=DAE，1=2，BD=CE，请说明ABDACE.吗？为什么？分析：例三是两组边相等，放入一组三角形中，利用SAS说明全等， 此题是两组角相等，那么该如何做呢?变形2：过点A分别作两个大小不一样的等边三角形，连接BD，CE，请说明它们相等。图15分析：此题实际上是例三的变形，只不过将等腰三角形换成了等边三角形，只要你根据所求问题，把BD看成在ABD的一边，CE看成ACE的一边，自然就得到了证明的方向。 解：ABC与ADE是等边三角形， AB=AC， AD=AE BAC=DAE=60 BAC+CAD=DAE+CAD（等式性质） 即： BAD=CAE接下来的过程与例三完全一致，不予描述！ 图16变形3：如图1618，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，连接BD，CE，请说明它们相等 这里仅以图17进行说明 解： ABC与ADE是等边三角形， AB=AC， AD=AE BAC=DAE=60图17BACCAD=DAECAD【仅这步有差别】即：BAD=BAD=CAE 在ABD与ACE中， AB=AC（已知） BAD=CAE（已求） AD=AE图18 ABDACE（SAS） BD=CE（全等三角形的对应边相等） 图16，图18的类型，请同学们自己去完成变形4：如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N求证：；分析：和上面相比，只不过等边三角形换成正方形，60换成直角了，思路一样例六： 如图，ABC中，C=90，AB=2AC，M是AB的中点，点N在BC上，MNAB.求证：AN平分BAC.分析：要说明AN平分BAC，必须说明两角相等，可以说明AMNCAN，而题中已有了一组直角相等，一组公共边（斜边）结合题目中条件，比较容易找到一边直角边相等，从而利用HL定理得到全等。变形1：在RtABC中，已知A=90，DEBC于E点，如果AD=DE，BD=CD，求C的度数