河北省“五个一”名校联盟2021届高三数学联考测试卷【含答案】

河北省“五个一”名校联盟2021届高三数学联考测试卷考生注意：1本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分考试时间120分钟2请将各题答案填写在答题卡上3本试卷主要考试内容：高考全部内容，第I卷一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A（-1，3）B（1，1）C（0，1）D（0，6）2（ ）ABCD3在-组样本数据中，1，4，出现的频率分别为01，0，1，0.4，0.4，且样本平均值为2.5，则（ ）A5B6C7D84“直线与曲线只有一个交点”是“直线与曲线相切”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知，且，若不等式恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD6函数的大致图象为（ ）ABCD7设函数的定义域为，是其导函数，若，则不等式的解集是（ ）ABCD（0，1）8蹴鞠（如图所示），又名“蹋鞠”“蹴球”“蹴圆”“筑球”“踢圆”等，“蹴”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，已知某“鞠”表面上的四个点，满足，则该“鞠”的表面积为（ ）ABCD二、选择题：9由函数的图象得到函数的图象的过程中，下列表述正确的是（ ）A先将的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度B先将的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度C先将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）D先将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）10数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难人微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题结合上述观点，可得方程的解为（ ）ABCD11已知，则（ ）ABCD12已知是定义在上的奇函数，且，当时，关于函数，下列说法正确的是（ ）A为偶函数B在（1，2）上单调递增C在2016，2020上恰有三个零点D的最大值为2第卷三、填空题：本大题共4小题，把答案填在答题卡中的横线上13_14已知向量，若与同向，则_15将六根长为2米的硬钢丝与三根长为3米的硬钢丝焊接成一个三棱柱，假设钢丝是极细的（计算体积时可将每根钢丝当作线段），焊接过程中钢丝长度不改变若所得三棱柱的体积为立方米，则该三棱柱的侧棱与底面所成角的正弦值为_16已知，直线的斜率与直线的斜率之差是1，则点的轨迹的方程是_若点的坐标为，是直线上的一点，是直线与轨迹的交点，且，则_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角，的对边分别为，_，且，？注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分18已知数列是公差为2的等差数列，它的前项和为，且，成等比数列（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和192020年上半年受新冠疫情的影响，国内车市在上半年累计销量相比去年同期有较大下降国内多地在3月开始陆续发布促进汽车消费的政策，开展汽车下乡活动，这也是继2009年首次汽车下乡之后开启的又一次大规模汽车下乡活动某销售商在活动的前2天大力宣传后，从第3天开始连续统计了6天的汽车销售量（单位：辆）如下图：第天345678销售量（单位：辆）172019242427（1）从以上6天中随机选取2天，求这2天的销售量均在20辆以上（含20辆）的概率（2）根据上表中前4组数据，求关于的线性回归方程（3）用（2）中的结果计算第7，8天所对应的再求与当天实际销售量的差，若差值的绝对值都不超过1，则认为求得的线性回归方程“可行”，若“可行”则能通过些回归方程预测以后的销售量，请根据题意进行判断，（2）中的结果是否可行，若可行，请预测第9天的销售量；若不可行，请说明理由附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，20如图，在三棱柱中，平面是，的中点，是边长为1的等边三角形（1）证明：（2）若，求二面角，的大小，21已知椭圆的右焦点为，短轴长为2，且截直线所得线段的长为（1）求的方程；（2）若，为上的两个动点，且证明直线过定点，并求定点的坐标22已知函数（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，是函数最小的零点，求证：函数在区间上单调递减（注：河北省“五个一”名校联盟2021届高三联考数学参考答案1因为，所以2B3A由题意知，可得4D若直线与曲线只有一个交点，直线与曲线不一定相切，比如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与该双曲线只有一个交点，但不是相切；反之，若直线与曲线相切，直线与曲线也不一定只有一个交点5D，（当且仅当，即时取等号），6D因为，所以为奇函数，当时，故选D7C令，则，因为，所以，所以在上单调递减因为，所以等价于，解得，所以不等式的解集是8A因为，所以可以把，四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径设该长方体的长、宽、高分别为，“鞠”的半径为，则因为，所以，所以9AC方式一：先将的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度方式二：先将的图象向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）10AC由得|其几何意义为平面内一点与两定点（-2，0），（2，0）距离之差的绝对值为2平面内与两定点（2，0），（2，0）距离之差的绝对值为2的点的轨迹是双曲线设该双曲线的方程为，则解得，所以该双曲线的方程是联立方程组解得11ACD记，则令，则，所以为的展开式中的系数，因为的通项为，所以又所以，所以即12AD易知函数的定义域为，且，所以为偶函数，故A正确因为，所以的图象关于直线对称，又是奇函数，所以是周期为4的函数，其部分图象如下图所示所以当时，当时，单调递减，故B错误在2016，2020上零点的个数等价于在0，4上零点的个数，而在0，4上有无数个零点故C错误当时，易知的最大值为2，由偶函数的对称性可知，当时，的最大值也为2，所以在整个定义域上的最大值为2，故D正确13142因为与同向，所以又因为，所以，解得，经检验都满足题意15由于只有三根长为3米的硬钢丝，其余钢丝的长度都不是3米，所以这三根只能做棱柱的侧棱，所以该三棱柱的底面为正三角形设该三棱柱的高为米，所以，解得，所以该三棱柱的侧棱与底面所成角的正弦值为16；设，则，整理得点的轨迹的方程是作轴于点，记与轴交于点因为点为轨迹的焦点，所以又因为，所以的纵坐标为，故17解：选：，符合，故存在满足条件的选：，由，符合，故存在满足条件的选：，得，不成立故不存在满足条件的18解：（1）由题意知，因为，成等比数列，所以即，解得，所以，即（2）因为，所以，则又，所以19解：（1）设“从6天中随机选取2天这2天的销售量均在20辆以上（含20辆）”为事件A，这6个数据为3，4，5，6，7，8抽取2个数据的基本事件有种，其中事件A发生的基本事件有种，所以（2）前四组数据如下：第天3456销售量y（单位：辆）17201924因为，所以，所以所求线性回归方程为（3）当时，此时；当时，此时所以认为线性回归方程是“可行”的当时，所以预测第9天的销售量为29辆20（1）证明：是边长为1的等边三角形，是的中点，的边长为1，即是等腰三角形，从而，即平面，且平面，平面，平面，平面平面，（2）解：连接，因为，所以以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，即可取由（1）知平面的一个法向量为，且二面角为锐角，二面角的大小为21（1解：把代入得，则即又，则，从而故的方程为（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，得设，的坐标分别为，则，且，设直线，的倾斜角分别为，且垂直轴，即，则，即，化简可得，则直线的方程为，故直线过定点（2，0）22（1）解：当时，所以，且，函数在处的切线斜率所以函数在处的切线方程为，即（2）证明：令，解得，所以函数在区间上单调递增，在区间单调递减，所令，则，所以在区间单调递增，而当时，由题意，可以得所以当时，则，当时，要想证明函数在区间上单调递减，只需，故只要证明记，在区间上单调递增，所以所以在区间上单调递增，所以，且在区间上单调递增，所以，所以函数在区间上单调递减