2021年高考【数学】一轮复习考点17 平面向量的线性运算与基本定理（原卷版）

2021 年高考考点扫描 一轮备战高考 高考一轮高考一轮考点扫描考点扫描 真题剖析真题剖析逐一击破逐一击破 2021 年高考考点扫描 一轮备战高考 考点考点 17 平面向量的线性运算与基本定理平面向量的线性运算与基本定理 【考点剖析】 1.最新考试说明：最新考试说明： （1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 【2020四川达州高三三模】在 ABC 中， 1AB ， 2 3 A ， () ABtAC tR 的最小值是（ ） A 3 2 B 2 2 C 1 2 D 3 3 （2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 【2020新疆天山乌市八中高三】设向量 (1,1),(2,)abm ,若 /2aab ,则实数m的值为( ) A1B2C3D4 【2020甘肃省静宁县第一中学高三】若向量 (1,2)ax 与 (1, 1)b 平行，则|2 + |= a b （ ） A 2 B 3 2 2 C3 2D 2 2 （3）了解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题 【2020安徽马鞍山高三三模】在 ABC 中，D为BC上一点，且 2BDDC ，AE ED ，若 EBxAByAC ，则（ ） A 1 3 x ， 2 3 y B 5 6 x ， 1 3 y C 5 6 x ， 1 3 y D 2 3 x ， 1 3 y 【2020上海高三专题】在 ABC 中，设D是BC边上一点，且满足 2CDDB ， CDABAC ，则 的值是_. （4）掌握平面向量的正交分解及坐标表示 【2020湖南雁峰衡阳市八中高三】已知向量AC，和在正方形网格中的位置如图所示，若AD AB 2021 年高考考点扫描 一轮备战高考 ，则（ ）ACABAD A.2 B.2 C.3 D. 3 C D B A 【2020南京市玄武高级中学】给定两个长度为 1 的平面向量 和 ，它们的夹角为.如图所示，点 OA OB 2 3 C 在以 O 为圆心，1 为半径的圆弧 AB 上运动若xy，其中 x，yR，则 xy 的最大值为 OC OA OB _ （5）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 【2020江苏高三其他】已知向量 1,3a ， 2,1b ， 3,2c .若向量c 与向量ka b 共线，则实数 k _. （6）理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【2020河南宛城南阳中学】已知平面向量 (1,2),( 2,)abm ，且 / /ab ，则2 3ab （ ） A( 5, 10) B 4, 8 C 3, 6 D 2, 4 【2020河南高三月考】若 3,am （mR） ， 6,4b ，且 ab= （ R ） ，则 3abab （ ） A0B 5 C 12 D 13 2.命题方向预测：命题方向预测： （1）平面向量的线性运算是考查重点共线向量定理的理解和应用是重点，也是难点题型以选择题、 填空题为主，常与解析几何相联系. （2）平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点向量的坐标运算可能单独命题， 更多的是与其他知识点交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常见常以选择题、填空题的形式出现， 难度为中、低档. 3.课本结论总结：课本结论总结： （1）向量的有关概念 向量：既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小. 2021 年高考考点扫描 一轮备战高考 零向量：模为 0 的向量，记作，其方向为任意的，所以与任意向量平行，其性质有：=0，+000 a0 =.aa 单位向量：模为 1 个长度单位的向量，与方向相同的单位向量为.a a |a| 相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作=.ab 相反向量：长度相等且方向相反的两个向量，的相反向量为-，有-(- )= .aaaa (2)向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算 (1)交换律： abba. (2)结合律： (ab) ca(bc) 减法 求 a 与 b 的相反向量b 的 和的运算叫做 a 与 b 的差 三角形法则 aba(b) 数乘 求实数 与向量 a 的积的 运算 (1)|a|a|；(2)当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同； 当 <0 时，a 的方向与 a 的 方向相反；当 0 时，a0 (a)() a；() aaa；(a b)ab (3) 平面向量基本定理 若、是平面内不共线的向量，向量是平面内任意一个向量，则存在唯一实数对，使.abc, x yxyc = a+ b (4) 共线向量 共线向量概念：若两个非零向量、的方向相同或相反，则称与共线，也叫与平行，规定零ababab 向量与任意向量共线.两个向量共线其所在的直线可能重合也可能平行. 共线向量定理：（）存在唯一实数，使得=.abb0ab 若=（，） ，=（，） ，则-=0.a 1 x 1 yb 2 x 2 yab 1 x 2 y 2 x 1 y (5) 平面向量的基本运算 2021 年高考考点扫描 一轮备战高考 若=（，） ，=（，） ，则=（，） ，a 1 x 1 yb 2 x 2 yab 1 x 2 x 1 y 2 y =（，） ，a 1 x 1 y 若 A（，） ，B（，） ，则=（-，-）. 1 x 1 y 2 x 2 yAB 2 x 1 x 2 y 1 y 4.名师二级结论：名师二级结论： （1）若 A、B、C 三点共线且，则=1.OAOBOC （2）若向量不共线，则, a b xayb 0 xy （3）C 是线段 AB 中点的充要条件是. 1 () 2 OCOAOB (4)若，则线段 AB 的中点坐标为（）. 1122 ( ,), (,)A x yB xy 1212 , 22 xxyy (4)G 是ABC 的重心的充要条件为.0GAGBGC (5)若ABC 的三个顶点坐标分别为，则ABC 重心坐标为 112233 ( ,), (,),(,)A x yB xyC xy 123123 (,) 33 xxxyyy (6)已知，且，则点 C 的坐标为. 1122 ( ,), (,)A x yB xyACCB 1212 (,) 11 xxyy 5.课本经典习题：课本经典习题： (1)新课标 A 版第 92 页，习题 A 组第 12 题 在ABC 中，DEBC，且与边 AC 相交于点 E，ABC 的中线 AM 与 DE 相交于点 N，设 1 4 ADAB ，=，用，分别表示向量.ABa AC b a b ,AE BC DE DB EC DN AN 【经典理由】本题考查了平面向量的加法、减法、实数与向量积等线性运算，具有代表性. (2) 新课标 A 版第 101 页，第 7 题 已知 A（2,3），B（4，-3），点 P 在线段 AB 的延长线上，且,求点 P 的坐标. 3 | 2 APPB 【经典理由】本题考查了平面向量实数与向量积的坐标运算及数形结合思想，是经典题型. 6.考点交汇展示：考点交汇展示： （1）与解三角形交汇）与解三角形交汇 【2020南京市玄武高级中学高三】已知的三内角、所对边长分别为是、，设向 ABCABCabc 量，若，则角的大小为_. ,sinmabC 3,sinsinnacBA /m n B 2021 年高考考点扫描 一轮备战高考 【2020全国高三课时】已知 a，b，c 分别是ABC 的内角 A，B，C 所对的边，点 M 为ABC 的重 心若 aMA bMB 3 3 cMC 0 ，则 C（ ） A4 B2 C 5 6 D 2 3 (2)三角函数交汇三角函数交汇 【2019河北路南唐山一中高三】已知向量 1 ,tan 3 a ， cos ,1b ， , 2 ，且/a b ，则 sin 2 （ ） A 1 3 B 1 3 C 2 2 3 D 2 2 3 【2017 江苏，16】 已知向量(cos ,sin ),(3,3),0,.xxxab （1）若 ab,求 x 的值； （2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.( )f x a b( )f xx (3)与平面几何交汇与平面几何交汇 【2017 浙江，10】如图，已知平面四边形 ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC 与 BD 交于点 O，记，则 1 IOAOB 2 IOBOC 3 IOC OD ABC D 321 III 231 III 213 III 312 III 【2020江苏高三其他】如图，在平行四边形ABCD中， 2,ABAD E F 分别为 ,AD DC 的中点， 2021 年高考考点扫描 一轮备战高考 AF与BE交于点O.若125AD ABOF OB ，则 DAB 的余弦值为_. 【考点分类】 热点 1 平面向量的线性运算 1 （2020甘肃靖远高三）在 ABC 中，点D在线段BC上，且 2CDBD ，E为AC的中点，则 DE uuu r （ ） A 21 36 ABAC B 21 36 ABAC C 21 36 ABAC D 21 36 ABAC 2 （2020安徽蚌埠高三）在ABC 中，D 为 BC 上一点，E 为线段 AD 的中点，若 2BD DC ，且BE xAB yAC ，则 xy（ ） A 2 3 B 1 2 C 1 3 D 1 3 3.如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F 是BC的一个三等分点，那么EF 等于（ ） A 11 23 ABAD B 11 42 ABAD C 11 32 ABDA D 12 23 ABAD 【方法规律】 1.判定两向量的关系式时，特别注意以下两种情况： （1）零向量的方向及与其他向量的关系. （2）单位向量的长度与方向. 2021 年高考考点扫描 一轮备战高考 2.对任意向量可以自由移动，且任意一组平行向量都可平移到一条直线上. 3.向量不能比较大小，但它的模可以比较大小 4.在进行向量的线性运算要能的转化到三角形法、多边形或平行四边形中，运用三角形法则构成“首尾相连” 回路，或平行四边形法则，利用三角形中的中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何知识，结合实数 与向量的积，逐步将未知向量转化为与已知向量有直接关系的斜率求解. 5.当是线段 AB 的中点时，则=是中点公式的向量形式，应当做公式记忆.MOM 1 () 2 OAOB 6.当已知向量的坐标或易建立坐标系时，常用向量的坐标运算解向量的线性运算问题. 【解题技巧】 1.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三 角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来 2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变 形手段在向量线性运算中同样适用运用上述法则可简化运算 3. 用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形 式，再通过向量的运算来解决在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟 练运用平面几何的一些性质定理. 4. 解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点一般地，已知有向线段两端点 的坐标，应先求出向量的坐标解题