2021年高考【数学】一轮复习小题第31练 抛物线（山东专用）（解析版）
2021年高考小题必刷高考一轮小题必刷基础真题逐一击破第31练 抛物线1（2020河南高三其他（文）顶点在坐标原点 ,准线为的抛物线的方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】设抛物线方程为 ,由题意可知 , ,得 ,所以所求抛物线的方程为故选：A.2（2020辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他（文）已知抛物线上一点到其焦点的距离为 ,则（ ）ABCD【答案】A【解析】由抛物线的方程可得其准线方程为 ,根据抛物线的定义可得到焦点的距离等于其到准线的距离 ,故 ,解得 ,故选：A.3（2020商丘市回民中学高二期末（理）已知AB是抛物线的一条焦点弦 , ,则AB中点C的横坐标是 ()A2BCD【答案】B【解析】设 ,C的横坐标为 ,则 ,因为是抛物线的一条焦点弦 ,所以 ,所以 ,故.故选B4（2020科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高二期末（文）抛物线的焦点坐标是ABCD【答案】D【解析】即 ,所以其焦点在y轴正半轴 ,坐标为 ,选D5（2020科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高二期末（文）顶点为原点 ,焦点为的抛物线方程是（ ）A BCD【答案】D【解析】焦点为 , ,解得 ,又知抛物线的焦点在轴上 ,故抛物线的方程为 ,故选：D6（2020辽宁沈阳高三期末（理）若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点 ,则（ ）A4B6C8D16【答案】D【解析】在抛物线中焦点坐标为 ,在双曲线中 ,即右焦点为 ,由题可知 ,故选：D7（2020黑龙江道里哈尔滨三中高三二模（文）抛物线的焦点为F ,直线与抛物线交于点A（异于原点） ,则点A到焦点F的距离为（ ）A12B14C18D24【答案】B【解析】由题意可知点F的坐标为 ,准线方程为 ,由得（舍去）或所以点A到焦点F的距离为故选：B8（2020江西东湖南昌十中高二月考）已知拋物线x2=ay的焦点恰好为双曲线的上焦点,则a=（ ）A4BC8D【答案】B【解析】抛物线x2=ay（a0）的焦点为（0 ,）,双曲线的焦点为（0 ,2）,a0,=2,a=8.故选B9（2020全国高三（文）已知定点 ,为抛物线的焦点 ,为抛物线上的动点 ,则的最小值为( )A5B4.5C3.5D不能确定【答案】C【解析】如图所示 ,过点作准线 ,垂足为 ,则 ,当且仅当、三点共线时 ,取得最小值.故选：C10（2020四川泸县五中高三二模（理）已知抛物线C：的焦点为F ,M为C上一点 ,若 ,则（O为坐标原点）的面积为( )ABCD【答案】A【解析】因为 ,由抛物线的定义可得 ,解得 ,代入抛物线方程可得所以点M的坐标为 ,所以的面积为 ,故选：A.11（2020大连市普兰店区第一中学高二月考）已知抛物线的准线方程为 ,则实数的值为_.【答案】【解析】将化为 ,由题意 ,得 ,即.12（2019安徽六安（文）已知直线与抛物线相交于A、B两点 ,那么线段AB的中点坐标是_【答案】（4 ,2）【解析】设 ,由得到也就是 ,所以 ,故 ,因此中点坐标为.1（2020陕西西安高三二模（理）点是抛物线上一动点 ,则点到点的距离与点到直线的距离和的最小值是ABCD【答案】D【解析】由得焦点为 ,准线过作垂直直线于 ,根据抛物线的定义 ,抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离所以有 ,连接、 ,有 ,所以为与抛物线的交点时 ,点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为所以点到点的距离与到直线的距离和的最小值是故选：D2（2020安徽黄山高三二模（文）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合 ,则该双曲线的离心率是（ ）AB2CD【答案】D【解析】由抛物线的焦点坐标 ,双曲线 ,得 ,则 ,得 ,故焦距 ,实轴长 ,则离心率.故选：D.3（2020全国高三课时练习（理）设抛物线的顶点为 ,焦点为 ,准线为是抛物线上异于的一点 ,过作于 ,则线段的垂直平分线（ ）A经过点B经过点C平行于直线D垂直于直线【答案】B【解析】如图所示：因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等 ,又点在抛物线上 ,根据定义可知 , ,所以线段的垂直平分线经过点.故选：B.4（2020全国高三课时练习（理）设为坐标原点 ,直线与抛物线C：交于 ,两点 ,若 ,则的焦点坐标为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为直线与抛物线交于两点 ,且 ,根据抛物线的对称性可以确定 ,所以 ,代入抛物线方程 ,求得 ,所以其焦点坐标为 ,故选：B.5（2020湖北武汉高三其他（文）已知抛物线：的准线平分圆：的周长 ,则（ ）A2B3C4D6【答案】C【解析】抛物线：的准线的方程为 ,圆：的圆心 ,因为抛物线：的准线平分圆：的周长 ,所以准线过圆心 ,所以 ,解得 ,故选：C6（2020河南新乡高三三模（理）若抛物线x2ay的准线与抛物线yx22x+1相切 ,则a（ ）A8B8C4D4【答案】B【解析】抛物线抛物线x2ay的准线为则与抛物线yx22x+1相切 ,所以 ,所以故选：B7（2020河南南阳高三二模（文）已知双曲线的一条渐近线过点 ,且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上 ,则双曲线的方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】双曲线的一条渐近线过点 ,可得渐近线的斜率为 ,双曲线的一个焦点在抛物线的准线上 ,可得 ,即 ,解得 , ,则双曲线的方程为：故选：C8（2020福建高三其他（理）已知抛物线 ,过的焦点且斜率为1的直线交于A ,B两点 ,O为坐标原点 ,则的面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】易得直线的方程为 ,焦点 ,设.联立可得 ,故 ,所以.故选：B9（2020河南高三其他（理）已知抛物线的焦点为F ,若斜率为的直线l过点F ,且与抛物线C交于A ,B两点 ,则线段的中点到准线的距离为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意抛物线标准方程为 , , ,焦点为 ,准线方程为 ,直线方程为 ,代入抛物线方程整理得 ,设 ,则 ,设中点为 ,则 ,到准线的距离为故选：A10（2020湖南衡阳高三三模（理）设抛物线C：的焦点为F ,准线为l ,过F的直线m与C交于A ,B ,且与l交于M ,若 ,则直线m的斜率为（ ）ABCD【答案】B【解析】设 ,在准线上的射影为 , ,如图所示（不妨设直线的倾斜角为锐角） ,由 ,可得为的中点 ,设 ,则 ,由抛物线的定义可得： , ,.设直线的倾斜角为（为锐角） ,.当为钝角时 ,.故选：B.11（2020山东高三其他）设 ,是抛物线上的两个不同的点 ,是坐标原点若直线与的斜率之积为 ,则（ ）AB以为直径的圆的面积大于C直线过定点D点到直线的距离不大于2【答案】CD【解析】不妨设为第一象限内的点 ,当直线轴时 , ,由 ,得 , ,所以直线 ,的方程分别为：和与抛物线方程联立 ,得 , ,所以直线的方程为 ,此时 ,以为直径的圆的面积 ,故A、B不正确当直线与轴不垂直时 ,设直线的方程为 ,与抛物线方程联立消去 ,得 ,则设 , ,则因为 ,所以 ,则 ,则 ,所以 ,即 ,所以直线的方程为 ,即综上可知 ,直线为恒过定点的动直线 ,故C正确；易知当时 ,原点到直线的距离最大 ,最大距离为2 ,即原点到直线的距离不大于2故D正确故选：CD12（2019湖南高新技术产业园区衡阳市一中高二月考）下面四个关于圆锥曲线的命题中 ,其中真命题为（ ）A设A、B为两个定点 ,K为非零常数 ,若 ,则动点P的轨迹是双曲线B方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率C双曲线与椭圆有相同的焦点D已知抛物线 ,以过焦点的一条弦AB为直径作圆 ,则此圆与准线相切【答案】BD【解析】对A ,当且 ,点的轨迹是双曲线 ,故A错误；对B ,方程分别为和 ,故两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 ,故B正确；对C ,双曲线中 ,椭圆中 ,所以焦点坐标不一样 ,故C错误；对D ,设弦AB的中点为 ,过分别作抛物线准线的垂线 ,垂足为 ,则 ,以过焦点的一条弦AB为直径作圆 ,则此圆与准线相切 ,故D正确；故选：BD.13（2019江苏泉山徐州一中高二月考）如图所示 ,抛物线 ,为过焦点的弦 ,过 ,分别作抛物线的切线 ,两切线交于点 ,设 , , ,则下列结论正确的是（ ）A若的斜率为1 ,则B若的斜率为1 ,则C点恒在平行于轴的直线上D的值随着斜率的变化而变化【答案】BC【解析】由得 ,所以焦点坐标 , 对A ,直线的方程为 ,由得 ,所以 ,所以；故A错误因为 ,所以 ,则直线、的斜率斜率分别为、 ,所以 , ,由解得即由题意知 ,直线的斜率存在 ,可设直线的方程为 ,由消去 得 ,所以 , ,故D错误又 ,故C正确对B ,当的斜率为1时 , ,故 ,故D正确故选：BC14（2020安徽蚌埠高三其他（文）已知O为坐标原点 ,抛物线上一点A到焦点的距离为4 ,若点M为抛物线C准线上的动点 ,且最小值为 ,则等于_.【答案】4【解析】设原点关于准线的对称点 ,则 ,当与准线的交点为时 ,取到最小值 ,此时 ,不妨设抛物线焦点为 ,由题意知 ,到准线的距离为 ,设 ,则 ,所以 ,因为在抛物线上 ,所以.由做轴的垂线 ,垂足为 ,则 ,在中 ,由勾股定理可知 , ,即 ,整理得 , ,解得或.又因为当时 , ,不符合题意 ,所以.故答案为:4.15（2020全国高三课时练习（理）已知抛物线的焦点为F ,点P为抛物线上的动点 ,点M为其准线上的动点 ,若为边长是6的等边三角形 ,则此抛物线的方程为_.【答案】【解析】因为为等边三角形 ,所以 ,由抛物线的定义可得PM垂直于抛物线的准线 ,设 ,则点 ,因为焦点 ,是等边三角形 ,所以 ,解得.因此抛物线方程为.故答案为：16（2020重庆渝北礼嘉中学高三期中（理）已知抛物线的焦点 ,过其准线与轴的交点作直线 ,（1）若直线与抛物线相切于点 ,则=_.（2）设 ,若直线与抛物线交于点 ,且 ,则=_
