概率论与数理统计ch2-2

. . . 2.3 连续型随机变量的分布一. 连续型随机变量的密度函数定义2.3.1 若X是随机变量，其分布函数为，如果存在非负函数，使得对于任意的有 （2.3.1）则称X是连续型随机变量，而称为X的概率密度函数（简称密度函数或密度）.1. 密度函数具有下列性质：（1） （2.3.2）（2） （2.3.3）性质（2）表明，曲线与x轴围成的面积是1.反之，若任意一个定义在上的函数具有以上两个性质，则由（2.3.1）定义的函数是一个分布函数.2. 对于任意实数有 （2.3.4）（2.3.4）式说明了：X落在中的概率，恰好等于在区间上由曲线形成的曲边梯形的面积.3. 对于任意实数，有 . 这说明：（1）象离散型随机变量那样用列举法来描述连续型随机变量不但做不到，而且也毫无意义.（2）由不能推出；由不能推出. 即概率为0的随机事件不一定是不可能事件，概率为1的随机事件不一定是必然事件. （3） 对连续型随机变量X，有 （2.3.5）4. 分布密度函数的数值反映了随机变量X取的临近值的概率的大小. 这是因为5. 由（2.3.1）式可以看出，在上连续，且若在点连续，则 （2.3.6）例2.3.1 设随机变量X的密度函数为 . 求（1）常数A；（2）X的分布函数；（3）X落在区间中的概率.解 （1）由密度函数的性质（2.3.3） 得 .（2）当时， 当时， 当时， 综上得 （3）.二. 常用的连续型分布1. 均匀分布: 若随机变量的密度函数为 （2.3.7）则称X服从区间上的均匀分布，记为XU.这时, 的分布函数为 （2.3.8）若随机变量X服从区间上的均匀分布，则X在区间中落在其中某子区间的概率仅与子区间的长度成正比，而与此点的位置无关.2. 指数分布: 或 若随机变量X的密度函数为 （2.3.9）其中是常数，则称随机变量服从参数为的指数分布，记为.这时, 的分布函数为 （2.3.10） 指数分布有着重要的应用：常用它来作为各种“寿命”分布的近似，例如动物的寿命，电子元件的使用寿命，的通话时间，排队等候服务的时间等都常常假定服从指数分布.例2.3.3 某种晶体管寿命服从参数为的指数分布（单位：小时）. 某电子仪器装配有此晶体管5个，并且每个晶体管损坏与否相互独立. 求此电子仪器在1000小时恰好有两个晶体管损坏的概率.解 设为第只晶体管的寿命”，由题意知的密度函数为于是以Y记5只晶体管中寿命不小于1000小时的只数，则Y，因此，所求概率为 3. 正态分布: 若随机变量X的密度函数为（2.3.11）其中，是常数，则称X服从参数为的正态分布，记为X.可以验证确实是一个密度函数.即 （1）>0. （2） 这时，的分布函数为， 2.3.12）密度函数是一条钟形曲线：中间高，两边低. 特别地，当，时，此时分布称为标准正态分布，记为，相应的密度函数和分布函数分别记为和，即有 = ， （2.3.13） ， （2.3.14）对于的分布函数值可以通过变换得到.推导如下：X，.例2.3.4 设X，则，由此，当或时，有,.例2.3.5 设随机变量X.（1）求；（2）求常数，使；（3）求常数，使.解 （1）= = （2），查表得 于是. （3），即，查表得于是. 例2.3.8 设X，则. 特别地，当时，有 这表明试验中位于以的数据占99.73%，因此可以说，在一次试验中，随机变量X几乎总是落在之中，此即“3”原则. 这也与前面提到的密度函数的性质是一致的，在点附近越高，随机变量在点附近取值的概率也越大.2.4 随机变量函数的分布一般地，设X为一随机变量，为一已知的函数，其定义域包含了X的一切取值，则也是一随机变量.一. 离散型随机变量函数的分布若X为离散型随机变量，则也是离散型随机变量. 由X的分布列不难求出Y的分布列. 设X的分布列为则随机变量Y=的分布列为当然这里可能有一些的值是相等的，只要把它们作适当的合并就可以了.或用公式来表示， 若Y的可能取值为，则， （2.4.1）例2.4.1 已知X的分布列为， 求的分布列.解 当X分别取 -2，-1，0， 1， 2时，因此Y的取值 9， 4，1， 0， 1， 故的分布列为 例2.4.2 已知 求: 与 的分布列二、连续型随机变量函数的分布若X为连续型随机变量X ，为连续函数，则 Y=g(X)也是连续型随机变量. 如何由X的密度函数求Y的密度函数呢？其一般方法是：先求Y的分布函数FY(y)，然后再通过求导得出Y的密度函数pY(y).例2.4.3 已知随机变量X，求的密度函数.解 当时，=0；当时=因此Y的密度函数为 （2.4.2）具有密度函数（2.4.2）式的分布称为自由度为1的分布. 对于为单调函数，的分布密度可以直接由下列定理给出.定理2.4.1 设X是一个连续型随机变量，其密度函数为，在大于零，又函数在上严格单调且其反函数具有连续导数，则也是一个连续型随机变量，且其密度函数为 （2.4.5）其中是的值域.例2.4.5 已知随机变量X，是常数，.求Y的密度函数.解 显然函数满足定理2.4.1中条件，应用定理结论， 的反函数为，得Y的密度函数为： =由此可知Y，此例说明服从正态分布的随机变量经线性变换后仍然服从正态分布. 特别地，取 ，则有 即任一正态分布通过上述线性变换都可变成标准正态分布.例2.4.6 随机变量X的密度函数为 ， 求的密度.推论2.4.1 设连续型随机变量的密度函数为, 若函数在不重叠的区间上逐段严格单调, 其反函数分别为, 且存在且均为连续函数, 则是连续型随机变量, 且其密度函数为 (2.4.6)再看 例2.4.3 已知随机变量X，求的密度函数.Ex 16, , 18 , 20 ，22，28. .