（人教B版必修5）第一章解三角形章末回顾学案（含答案）

最新学习考试资料试卷件及海量高中、初中教学课尽在金锄头文库第一章 解三角形 本章回顾1三角形中的边角关系设，边 a，b，c 的对角分别为 A，B，C.(1)三角形内角和定理ABC .(2)三角形中的诱导公式B )，AB)，B) C，A 2 A 22(3)三角形中的边角关系abAB ；a>bA >B；ab>c，bc>a，c a> b.(4)三角形中几个常用结论在，aB(其余两个略)；在，>BA>B；在，A 弦定理(1)正弦定理在，角 A，B ，C 的对边边长分别为 a，b，c，则 2R 其中 R 是接圆半径(2)正弦定理的变形公式正弦定理反映了三角形的边角关系它有以下几种变形公式，解题时要灵活运用a2，b2，c2R ；最新学习考试资料试卷件及海量高中、初中教学课尽在金锄头文库 ， ，C ；abc； ， ， ab bc 弦定理(1)余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2b 2c 22；b2a 2c 22；c2a 2b 22C.(2)余弦定理的推论 ； ； 角形的面积三角形面积公式S 2 12 12S ；12 12 12S (abc)r (r 为切圆半径)；12S (R 为接圆半径 )； pp ap bp c.(其 中 p 12a b c)5解三角形的常见类型及解法在三角形的六个元素中，若知道三个，其中至少一个元素为边，即可求解该三角形，按已知条件可分为以下几种情况：已知条件 应用定理 一般解法一边和两角(如a， B，C) 正弦定理由 ABC 180°，求角 A；由正弦定理求出 b 与 边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边 c；由正弦定理求出小边所对的角；再由 ABC 180°求出另一角在有解时只有一解三边(a，b， c) 余弦定理由余弦定理求出角 A、B；再利用 ABC 180°，边和其中一边的对角(如 a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角 B；由 A BC180°，求出角 C；再利用正弦定理或余弦定理求 中教学课尽在金锄头文库6已知两边及一边对角解三角形，解的个数的判断在，以已知 a，b，A 为例判断方法如下表：A 为锐角图形关系式 a b ab a>b a解 无解 一解 无解一、构建方程(组)解三角问题例 1 如图所示，设 P 是正方形 部的一点，P 到顶点 A、B、C 的距离分别是 1,2,3，求正方形的边长解设边长为 x，x >0，在， ，22 124x 34， ，22 324x 54x又 BP1， 2 21.(34x ) (54x )x 252 或 22 2所以，x ，5±22即正方形的边长为 2例 2 最新学习考试资料试卷件及海量高中、初中教学课尽在金锄头文库如图所示，测量人员沿直线 方向测量，测得塔尖 A 处的仰角分别是30° ， 45° ， 60° ，且 N500 m，求塔高 ABh，则 B，可用 h 来表示，在底面，N500 m，借助用公共角合余弦定理的推论得出方程可求解解设 ABh， B，B ，又30°，45°，60° ，h，NBh， ， B 002 313 000×3，B 300×3h 002 83003h 5002 2003 h250 .塔高 250 二、构建目标函数解三角问题例 3 如图所示，已知O 的半径是 1，点 C 在直径 延长线上，点 P 是O 上半圆上的一个动点，以 边作等边三角形 点 D 与圆心分别在 两侧(1)若，试将四边形 面积 y 表示为关于 的函数；(2)求四边形 积的最大值分析四边形 以分成 用 C· 表示；而求12面积关键在于求出边长 利用余弦定理即可求出；至于面积最值的获得，则可通过三角函数知识解决解(1)在，由余弦定理，得 P 22C·54，所以 yS S ×1×2 ×(54 )12 34最新学习考试资料试卷件及海量高中、初中教学课尽在金锄头文库2 .( 3) 534(2)当 ，即 时，y 2 56 534答四边形 积的最大值为 2 甲船在 A 处、乙船在甲船正南方向距甲船 20 海里的 B 处，乙船以每小时 10 海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时 8 海里的速度由 A 处向北偏西 60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？分析利用余弦定理构建甲、乙两船的距离关于时间 t 的目标函数，注意到 t2 时，乙到达 A 处，此时，甲地、乙地、A 地三处构不成三角形，要注意分类讨论如图所示：解设甲、乙两船经 t 小时后相距最近，且分别到达 P、Q 两处，因乙船到达 A 处需 2小时当 0t2 时，在，8t，2010t，所以 220° 20 10t2 8t2 220 10t×8t ×( 12) 2 240t 400 2160t 100当 t>2 时，在 ，t，0t20，20°2 60t 100综合知， (t0) 2160t 100当且仅当 t 时，小3021 107答甲、乙两船行驶 小时后，相距最近107三、利用等价转化思想解三角问题例 5 在，已知 ，求证：等腰三角 析从题中的等式结构来看，情况较为复杂，且求证的是判定等腰三角形或直角三角形两种情况因此，应综合应用正、余弦定理，先进行化简，再讨论证明应用正弦定理及二倍角公式，将已知等式变形为： ， ，22 中教学课尽在金锄头文库整理得 () 0 或 0， bc 若 0，则 C90° ；若 0，依据正弦定理得 ，bc 即 所以 BB2C 或 2B2C180°，即 BC 或 BC90°等腰三角形或直角三角形例 6 在，角 A，B ，C 所对的三边长分别为 a，b，c，若c 2，a4 ，B45°，求面积b c 3分析解决本题的突破口是由 c 2 联想到余弦定理，这就需要降次，自然就b 形后自然容易发现它与余弦定理的关系，进而应用余弦定理解决问题解因为 c 2，b ab)( a2b 2c 2ab0，所以 a2b 2c 2，即 a2b 2c 2 2又因为 0°0，y>0，z>0 ，求证： > y2 z2 图所示，构造四面体 V0°，且 VAx，VBy，VCz，由余弦定理得最新学习考试资料试卷件及海量高中、初中教学课尽在金锄头文库20° C ，z2 ，由于 C>故有： y2 x2