精编国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案

国家开放大学电大本科常微分方程网络课形考任务1-6试题及答案 国家开放大学电大本科常微分方程网络课形考任务1-6试题及答案 100%通过 考试说明：2020年秋期电大把该网络课纳入到“国开平台”进行考核，该课程共有6个形考任务，针对该门课程，本人汇总了该科所有的题，形成一个完整的标准题库，并且以后会不断更新，对考生的复习、作业和考试起着非常重要的作用，会给您节省大量的时间。做考题时，利用本文档中的查找工具，把考题中的关键字输到查找工具的查找内容框内，就可迅速查找到该题答案。本文库还有其他网核及教学考一体化答案，敬请查看。 课程总成绩 = 形成性考核50% + 终结性考试50% 形考任务1 题目1 本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是（ ） 选择一项：A. 一阶线性微分方程组 B. 定性和稳定性理论简介 C. 初等积分法 D. 基本定理 题目2 本课程安排了6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是（ ） 选择一项：A. 第一章至第四章的单项选择题 B. 第二章基本定理的形成性考核书面作业 C. 初等积分法中的方程可积类型的判断 D. 第一章初等积分法的形成性考核书面作业 题目3 网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：（ ） 选择一项：A. 课程公告 B. 自主学习 C. 课程信息 D. 系统学习 题目4 网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是（ ） 选择一项：A. 一阶隐式微分方程 B. 分离变量法 C. 全微分方程与积分因子 D. 常数变易法 题目5 网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（ ）讲 选择一项：A. 18 B. 20 C. 19 D. 17 题目6 网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：（ ） 选择一项：A. 考核说明 B. 复习指导 C. 模拟测试 D. 各章练习汇总 题目7 请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在1001000字 答：常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。满足微分方程的函数叫做微分方程的解，含有独立的任意常数的解称为微分方程的通解。确定通解中任意常数后所得的解称为该方程的特解。 一阶微分方程的初等解法中把微分方程的求解问题化为了积分问题，这类初等解法是，与我们生活中的实际问题密切相关的值得我们好好探讨。 在高阶微分方程中我们学习的线性微分方程，作为研究线性微分方程的基础，它在物理力学和工程技术， 自然科学中时存在广泛运用的，对于一般的线性微分方程，我们又学习了常系数线性微分 变量的方程，其中涉及到复值与复值函数问题，相对来说是比较复杂难懂的。 至于后面的非线性微分方程，其中包含的稳定性，定性基本理论和分支，混沌问题及哈密顿方程，非线性方程绝大部分的不可解不可积现象导致了我们只能通过从方程的结构来判断其解的性态问题，在这一章节中，出现的许多概念和方法是我们从未涉及的，章节与章节中环环相扣，步步深入，由简单到复杂，其难易程度可见一斑。 由此，常微分方程整体就是由求通解引出以后的知识点，以求解为基础不断拓展，我们所要学习的就是基础题解技巧，培养自己机制与灵活性，多反面思考问题的能力，敏锐的判断力也是不可缺少的。 形考任务2 初等积分法中的方程可积类型的判断（1）题目1 答：（一阶线性非齐次微分）方程. 题目2 答：（可降阶的高阶）方程 题目3 答：（克莱洛）方程 题目4 答：（伯努利）方程 题目5 答：（一阶线性非齐次微分）方程 题目6 答：（恰当导数）方程 题目7 答：（变量可分离）方程 题目8 答：（一阶隐式微分）方程 题目9 答：（全微分）方程 题目10 答：（齐次微分）方程 形考任务3 常微分方程学习活动3 第一章 初等积分法的综合练习 本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握 要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。 一、填空题 1微分方程是 二 阶微分方程 2初值问题的解所满足的积分方程是 3微分方程是 一阶线性非齐次微分方程 （就方程可积类型而言）4微分方程是 全微分方程 （就方程可积类型而言）5微分方程是 恰当倒数方程 （就方程可积类型而言）6微分方程的所有常数解是 7微分方程的常数解是 8微分方程的通解为 9微分方程的通解是. 10一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线 二、计算题 1指出下列方程的阶数，是否是线性方程：（1） 答：一阶，非线性 （2） 答：四阶，线性 （3） 答：三阶，非线性 2用分离变量法求解下列方程：（1） （2） （3） 2（1）解 通积分为 （2）解 当时，分离变量，两端取积分得 即 通积分为 另外，是常数解， 注: 在方程求解时，求出显式通解或隐式通解（通积分）即可，常数解可以不求。 （3）解 当时, 方程可变为 ， 通积分为 或 , 上式代入初值条件. 得. 于是初值问题解为 . 3解下列齐次线性微分方程 （1） （2） （1）解 显然是方程的解. 当时, 原方程可化为 . 令, 则原方程可化为 , 即 易于看出, 是上面方程的解, 从而 是原方程的解. 当时, 分离变量得, . 两端积分得(C) 将换成, 便得到原方程的解 , (C). 故原方程的通解为（为任意常数）及 . （2）解 显然是方程的解. 当时, 原方程可化为 . 令, 则原方程可化为 , 即 易于看出, 是上式的解, 从而是原方程的解. 当时, 分离变量得, . 两端积分得 (C). 将换成, 便得到原方程的解 (C). 故原方程的通解为 . 4解下列一阶线性微分方程：（1） （2） （1）解 先解齐次方程 . 其通解为 . 用常数变易法, 令非齐次方程通解为 . 代入原方程, 化简后可得. 积分得到 . 代回后即得原方程通解为 . （2）解 先解齐次方程 . 其通解为 . 用常数变易法, 令非齐次方程通解为 . 代入原方程, 化简后可得 . 积分得到 . 代回后即得原方程通解为 . 5解下列伯努利方程 （1） （2） （1）解 显然是方程解. 当时, 两端同除, 得 . 令, 代入有 它的解为 于是原方程的解为，及 （2）解 显然是方程解. 当时, 两端同除, 得 . 令, 代入有 它的解为 ， 于是原方程的解， 及 6解下列全微分方程：（1） （2）（1）解 因为 , 所以这方程是全微分方程, 及 在整个平面都连续可微, 不妨选取. 故方程的通积分为 , 即 . （2）解 因为 , 所以这方程是全微分方程, 及 在整个平面都连续可微, 不妨选取. 故方程的通积分为 , 即 . 7求下列方程的积分因子和积分：（1） （2） （1）解 因为 , 与y无关, 故原方程存在只含x的积分因子. 由公式（1. 58）得积分因子，即 于是方程 为全微分方程.取 . 于是方程的通积分为. 即 . （2）解 因为 , 与y无关, 故原方程存在只含x的积分因子. 解方程 由公式（1. 58）得积分因子，即 于是方程 为全微分方程. 取 . 于是通积分为. 即. 8求解下列一阶隐式微分方程 （1） （2） （1）解 将方程改写为 即或 解得通积分为：, 又是常数解. （2）解 显然是方程的解. 当时, 方程可变为 , 令, 则上面的式子可变为 . 解出u得, . 即 . 对上式两端积分得到方程的通解为 9求解下列方程 （1） （2） （1）解 令 , 则. 代入原式得. 解出得 . 这是克莱洛方程，通解为 . 即 . 解之得 （为任意常数）. （2）解 化简得 ， 即 求积分得 . . 三、证明题 1设函数，在上连续，且， （a, b为常数）求证：方程 的一切解在上有界 2设在上连续，且，求证：方程 的一切解，均有 1证明 设y=y(x)是方程任一解，且满足y(x0)=y0, 则 由于，所以对任意0,存在x0,使得x时 有 令，则 于是得到 又在x0，x1上y(x)有界设为M2，现取 ， 则 2证明 设是方程任一解，满足，该解的表达式为 取极限 = 四、应用题 1按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比, 已知空气温度为, 而物体在15分钟内由 冷却到 , 求物体冷却到所需的时间. 2重为100kg的物体，在与水平面成30的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试求：（1）物体运动的微分方程；（2）求5 s后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度 1 解 设物体在时刻t的温度为，由题意满足初值问题 其中为常数 解得 设物体冷却到40所需时间为，于是由得 解得 52分钟. 2解 取初始下滑点为原点，轴正向垂直向下，设 时刻速度为 , 距离为, 由题意满足初值问题 解得 再由解得 于是得到5秒后， ， , 形考任务4 常微分方程学习活动4 第二章 基本定理的综合练习 本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握 要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。 一、填空题 1. 方程的任一非零解 不能 与x轴相交 2李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的充分 条件 3. 方程+ ysinx = ex的任一解的存在区间必是(-,+) 4一阶显式方程解的最大存在区间一定是