高中数学 第1讲 相似三角形的判定及有关性质 2 平行线分线段成比例定理学案 新人教A版选修4-1

二平行线分线段成比例定理1掌握平行线分线段成比例定理及其推论(重点)2能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题. (难点、易混点)基础初探教材整理1平行线分线段成比例定理阅读教材P5P7“定理”及以上部分，完成下列问题1文字语言三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例2图形语言如图121，l1l2l3，则有：，.图121如图122所示，DEAB，DFBC，下列结论中不正确的是()图122A.B.C.D.【解析】DFEB，DEFB，四边形DEBF为平行四边形，DEBF，DFEB，A正确；，B正确；，C正确【答案】D教材整理2平行线分线段成比例定理的推论阅读教材P7P9，完成下列问题1文字语言平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例2图形语言如图123，l1l2l3，图123如图124所示，在ACE中，B，D分别在AC，AE上，下列推理不正确的是()图124ABDCEBBDCECBDCEDBDCE【解析】由平行线分线段成比例定理的推论不难得出A，B，C都是正确的，D是错误的【答案】D质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑： 小组合作型证明线段成比例如图125，AD为ABC的中线，在AB上取点E，AC上取点F，使AEAF，求证：.图125【精彩点拨】在这道题目中所证的比例组合都没有直接的联系，可以考虑把比例转移，过点C作CMEF，交AB于点M，交AD于点N，且BC的中点为D，可以考虑补一个平行四边形来求解【自主解答】如图，过C作CMEF，交AB于点M，交AD于点N.AEAF，AMAC.AD为ABC的中线，BDCD.延长AD到G，使得DGAD，连接BG，CG，则四边形ABGC为平行四边形，ABGC.CMEF，.又ABGC，AMAC，GCAB，.1解答本题的关键是添加辅助线，构造平行四边形2比例线段常由平行线产生，因而研究比例线段问题应注意平行线的应用，在没有平行线时，可以添加平行线来促成比例线段的产生3利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的，如本题中，.再练一题1如图126，ADBECF，EGFH，求证：.图126【证明】ADBECF，.又EGFH，.证明线段相等如图127，在梯形ABCD中，ADBC，F为对角线AC上一点，FEBC交AB于E，DF的延长线交BC于H，DE的延长线交CB的延长线于G.求证：BCGH. 【导学号：07370006】图127【精彩点拨】从复杂的图形中找出基本图形ABC和DHG，而EF是它们的截线，再使用定理或推论即可【自主解答】FEBC，.ADEFBH，BCGH.1解答本题的关键是构造分子或分母相同的比例式2应用平行线分线段成比例定理及推论应注意的问题：(1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系；(2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的辅助线可能很多，要注意围绕待证式；(3)要注意“中间量”的运用与转化再练一题2如图128所示，已知梯形ABCD的对角线AC与BD相交于点P，两腰BA，CD的延长线相交于点O，EFBC且EF过点P.求证：(1)EPPF；(2)OP平分AD和BC.图128【证明】(1)EPBC，.又PFBC，.ADEFBC，EPPF.(2)在OEP中，ADEP，.在OFP中，HDPF，.又由(1)知EPPF，AHHD.同理BGGC.OP平分AD和BC.探究共研型平行线分线段成比例探究1你还有其它方法证明课本P8的例3吗？【提示】过点C作CFAB，与DE的延长线交于点F.DEBC，CFAB，.四边形BCFD是平行四边形，DFBC，.探究2如何证明课本中P9中“探究”？【提示】如果l1与l2相交于点G(如图(1)，那么l1与l2确定一个平面.连接AD，BE，CF，则AD，BE，CF均在平面上，且ADBECF.由平行线分线段成比例定理可知，.如果l1与l2是异面直线，那么可在直线l2上取一点G，过点G作l3l1，设l3与平面，分别相交于P，Q，R(如图(2)，则l1与l3确定一个平面1，l3与l2确定一个平面2.在1中，连接AP，BQ，CR，则APBQCR，所以.在平面2中，连接PD，QE，RF，则PDQERF，所以，所以.(1)(2)如图129所示，在梯形ABCD中，ADBC，EF经过梯形对角线的交点O，且EFAD.(1)求的值；(2)求证：.图129【精彩点拨】(1)利用比例线段转化所求；(2)证出EF2OE，再利用(1)的结果证明【自主解答】(1)OEAD，.EFAD，ADBC，EFADBC，1.(2)证明：ADBCEF，可得，故OFOE，即EF2OE.由(1)知，1，2.2，.1本题要证明的结论较多，证明时要注意与图形的结合和对式子的合理变形2运用平行线分线段成比例定理的推论来证明比例式或计算比值，应分清相关三角形中的平行线段及所截边，并注意在求解过程中运用等比性质、合比性质等再练一题3如图1210，已知点E是ABCD边CD延长线上的一点，连接BE交AC于点O，交AD于点F.求证：OB2OEOF. 【导学号：07370007】图1210【证明】因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD，ADBC.由ABCE，得.由AFBC，得，所以(等量代换)，即OB2OEOF.构建体系1如图1211，已知DEBC，则下列比例式成立的是()图1211A.B.C.D.【解析】由平行线分线段成比例定理的推论知，.【答案】C2如图1212，已知，DEBC，则等于()图1212A. B.C.D.【解析】DEBC，.，.又，.【答案】C3如图1213所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一颗树，在北岸边每隔50米有一根电线杆小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为_米图1213【解析】设河宽为x米，据题意，解得x22.5.【答案】22.54如图1214所示，已知ab，3，则_. 【导学号：07370008】图1214【解析】ab，.3，BC3CD，BD4CD.又，.【答案】5如图1215，AD平分BAC，DEAC，EFBC，AB15 cm，AF4 cm，求BE和DE的长图1215【解】DEAC，32.又AD平分BAC，12，13，即AEED.DEAC，EFBC，四边形EDCF是平行四边形，EDFC，即AEEDFC.设AEDEFCx.由EFBC，得，即，解得x16，x210(舍去)所以DE6(cm)，BE1569(cm)我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(二) (建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1如图1216，梯形ABCD中，ADBC，E是DC延长线上一点，AE分别交BD于G，交BC于F.下列结论：；.其中正确的个数是()图1216A1B2C3D4【解析】BCAD，故正确BFAD，故正确【答案】C2如图1217，E是ABCD的边AB延长线上的一点，且，则()图1217A.B.C.D.【解析】CDAB，又ADBC，.由，得，即，.故选C.【答案】C3如图1218，平行四边形ABCD中，N是AB延长线上一点，则为()【导学号：07370009】图1218A. B1C.D.【解析】ADBM，.又DCAN，1.【答案】B4如图1219，AD是ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AFFD为()图1219A21B31C41D51【解析】过D作DGAC交BE于G，如图，因为D是BC的中点，所以DGEC，又AE2EC，故AFFDAEDG2ECEC41.【答案】C5如图1220，将一块边长为12的正方形纸ABCD的顶点A，折叠至边上的点E，使DE5，折痕为PQ，则线段PM和MQ的比是()图1220A512B513C519D521【解析】如图，作MNAD交DC于点N，.又AMME，DNNEDE，NCNEEC7.PDMNQC，.【答案】C二、填空题6(2016乌鲁木齐)如图1221，在ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DEBC，ADCE，若ABAC32，BC10，则DE的长为_图1221【解析】DEBC，ADAEABAC32.ADCE，CEAE32.AEAC25，DEBC25.BC10，DE1025，解得DE4.【答案】47如图1222，已知B在AC上，D在BE上，且ABBC21，E