信号与线性系统 管致中 第四版 第3章

.,1,2 周期信号的频谱,频谱图 振幅频谱 相位频谱 周期信号频谱的特点,.,2,频谱,周期信号为 f (t) ，周期为T，其傅里叶级数为,相频特性,幅频特性和相频特性,幅频特性,指数形与三角形傅氏级数的关系,.,3,频谱图 振幅频谱图： 横坐标频率(角频率) ； 纵坐标各谐波振幅 直观地表示出信号所含各谐波分量振幅的相对大小。,.,4,频谱图 相位频谱图： 横坐标频率(角频率) ； 纵坐标各谐波相位 只在 n 处有意义，即不连续，故称为离散频谱。,.,5,例,先将含有相同频率的正弦项与余弦项合并为一个余弦项，且所有项都表示为带正振幅的余弦项。,三角函数形式的频谱图,三角函数形式的傅里叶级数的谱系数,注意： 振幅频谱必然位于横轴的上方； 相位频谱中的角度的绝对值不能大于 。,.,6,化为指数形式,谱线,.,7,谱线,指数形式的频谱图,.,8,三角形式与指数形式的频谱图对比,三角函数形式的频谱图,指数形式的频谱图,一个周期信号与它的频谱（幅度频谱和相位频谱）之间存在一一对应的关系。 指数型傅里叶谱又叫双边谱（在正负频率处均存在），三角型傅里叶谱又叫单边谱。 振幅谱：直流分量一样，其它情况双边谱振幅是单边谱振幅的一半。 相位谱两者在n0时相同。 双边振幅谱偶对称，相位谱奇对称。,.,9,解：,例,.,10,单边谱,例,.,11,例,.,12,三角形式与指数形式的频谱图对比,2 3,-3 -2,.,13,例,.,14,已知某周期信号三角型傅里叶级数的傅里叶谱图如图所示，试求出该信号的时域表达式，并画出信号的指数型傅氏级数的傅里叶谱图。,例,.,15,.,16,周期矩形脉冲的频谱,.,17,周期T不变，脉冲宽度变化,第一个过零点：,谱线间隔,第一个过零点增加一倍,谱线间隔不变,脉冲宽度缩小一倍,幅值减小一倍,.,18,周期T不变，脉冲宽度变化,.,19,结 论, 由大变小，Fn 的第一个过零点频率增大， 即 ， 称为信号的带宽， 确定了带宽。 由大变小，频谱的频带变宽，频谱的幅度变小。 由于 T 不变，谱线间隔不变，即 不变。,.,20,脉冲宽度不变, 周期T变化,第一个过零点,谱线间隔,谱线间隔减小一倍,第一个过零点不变,幅值减小一倍,周期T扩展一倍,.,21,脉冲宽度不变, 周期T变化,.,22,结 论, 不变，Fn 的第一个过零点频率不变， 即 ， 带宽不变。 T 由小变大，谐波频率成分丰富，并且频谱的幅度变小。 T 时，谱线间隔 0 ，这时： 周期信号 非周期信号；离散频谱 连续频谱,.,23,周期信号频谱的特点,唯一性： 一个周期信号与它的频谱（幅度频谱和相位频谱）之间存在一一对应的关系。 离散性： 频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量，故称为离散频谱。 谐波性： 频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。 收敛性： 各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小。 一般将最大的频谱幅度形象化称为主峰高度。,.,24,周期信号频谱的特点,频带宽度 理论上周期信号的谐波分量无限多。实际只考虑频率较低的一部分分量。 周期信号的频带宽度从零频率开始到需要考虑的最高分量的频率间的这一频率范围，简称带宽。 包络线为抽样函数的频谱的频带宽度从零频率开始到频谱包络线第一次过零点的频率(2/)之间的频率范围。 一般信号的频谱的的频带宽度从零频率开始到频谱振幅降为包络线最大值（主峰高度）的1/10的频率之间的频率范围。 一切脉冲信号的脉宽（脉冲宽度 ）与频宽成反比；时间函数中变化较快的信号必定具有较宽的频带。 减小，频宽加大，当0时，频宽也无限趋大，此时，信号能量就不再集中在低频分量中，而均匀分布于零到无限大的全频段。,.,25,周期信号频谱的特点,离散频谱与连续频谱 时域中连续的周期函数，它的频谱在频域中是离散的非周期函数。 当周期增大，频谱也相应地渐趋密集，频谱的幅度也相应的渐趋减小。当 T （周期函数变成非周期函数）时，频谱线无限密集，频谱幅度无限趋小。这时，离散频谱就变成连续频谱。即，时域中连续的非周期函数，它的频谱在频域中是连续的非周期函数。,.,26,3 非周期信号的频谱与傅里叶变换,非周期信号的傅里叶变换 非周期信号的频谱 周期信号与非周期信号的频谱比较,.,27,非周期信号的傅里叶变换,非周期信号：T趋于无限大，谱线间隔趋于无穷小量d，离散频率n变成连续频率。在这种极限情况下，Fn趋于无穷小量，但FnT 可望趋于有限值，且为一个连续函数，通常记为F(j)。,单位频带上的频谱值（复振幅）。 可理解成各频率分量沿频率轴的分布，具有密度的量纲和概念，故称为频率密度函数。简称频谱密度，或在不发生混淆时简称频谱。但与周期信号的频谱概念上的不一样。,.,28,非周期信号的傅里叶变换对,傅里叶变换,傅里叶反变换,简记：F(j)=F f (t) 称频谱函数；,或记为：,f (t) = F(j) 称为原函数。,一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为 f(t) 应满足绝对可积， 即要求,.,29,与周期信号的傅里叶级数类似， 一般为复函数,称为幅频特性；,称为相频特性。,频率特性,频率特性,.,30,傅里叶变换的三角形式,求和 振幅 正弦信号,.,31,解：据傅里叶变换的定义有,单个矩形脉冲频谱,.,32,单个矩形脉冲频谱,幅度频谱：,相位频谱：,.,33,周期信号 与频谱 一一对应,例如,时域：连续、周期,频域：离散、非周期,周期信号与频谱,.,34,非周期信号 与频谱F(j)一一对应,时域：连续、非周期,频域：连续、非周期,非周期信号与频谱,例如,.,35,周期T改变时，频谱的振幅和谱线间隔改变，但包络形状不变，即各频率分量振幅的比例关系不变。,周期信号与非周期信号的频谱比较,周期信号,非周期信号,频谱连续； 频率分量的复振幅为无穷小量； 信号能量分布在所有频率分量上，但每个频率分量所包含的能量为无穷小量。,频谱离散； 频率分量的复振幅为有限值； 信号能量集中在一些离散的谐波分量中。,大部分能量集中在低频段，即信号频带有限； 脉冲的频带宽度和脉冲持续时间成反比；当脉宽足够小（窄脉冲）时，其频谱函数为一个等于脉冲面积的常数。,.,36,傅里叶变换的解释基本思想,任意信号 f (t)可以分解为无穷多个不同频率的复指数信号 ，它包括了一切频率，且各分量的幅值 无穷小。这样系统的输入和输出的关系为：,.,37,4 常用信号的傅里叶变换,矩形脉冲（门函数） 三角脉冲信号 单边指数信号 双边指数信号 冲激信号 冲激偶 特殊信号 直流信号 符号函数 阶跃信号,.,38,矩形脉冲（门函数）,幅度频谱：,相位频谱：,.,39,三角脉冲信号,.,40,单边指数函数,.,41,频谱图,幅度频谱：,相位频谱：,.,42,双边指数函数,.,43,求f(t)的频谱函数。,例,.,44,冲激函数,冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而(t)不满足绝对可积条件，不能用定义求。,脉冲宽度无限趋小后，频带具有无限宽度：(t)中包含了所有的频率分量，而各频率分量的频谱密度都相等。(t)实际上无法实现。,时域无限窄，频带无限宽,.,45,冲激函数傅里叶反变换,不满足绝对可积条件，不能直接用定义求,借助于双边指数函数 频谱在0时的极限：,则,t=0时无穷大，其余时刻都为0 冲激函数性质。,冲激强度,.,46,直流信号,不满足绝对可积条件，不能直接用定义求,.,47,直流信号,时域无限宽，频带无限窄,.,48,比较,.,49,符号函数,处理方法：,做一个双边函数,不满足绝对可积条件,.,50,频谱图,.,51,单位阶跃函数,.,52,5 周期信号的傅里叶变换,周期信号可表示为:,上式说明：周期信号的频谱是离散的，它集中在基频和它所有谐波频率上。也可以说明，傅里叶级数是傅里叶变换的一种特例。,.,53,举 例,【例 1】冲激串函数 T(t),周期为=2/T,.,54,举 例,【例 2】周期函数的频谱,周期函数 ，其中： 为第一个周期， 为冲激串。,若 ，根据时域卷积定理：,周期函数的傅里叶 变换的一般公式,.,55,举 例,【例 3】周期矩形脉冲信号的傅里叶变换,第一个周期：,故信号的频谱为：,显然这是T=2 的频谱图,.,56,求傅里叶变换的思路,四个基本信号 的傅里叶变换,二十一个常用信号 的傅里叶变换,所有信号的 傅里叶变换,利用傅里叶 变换的性质,利用已知 信号推广,求信号的傅里叶变换是一个难点, 也是进入变换域分析的第一个积分变换!,.,57,常用傅里叶变换对,.,58,常用傅里叶变换对,