17407编号四川省普通高等学校专升本《高等数学》考试大纲(理工类)

考试大纲 禁止翻印 1 四川省普通高等学校“专升本”选拔 高等数学考试大纲（理工类） 总要求 考生应理解或了解高等数学中函数、极限、连续、一元函数 微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积 分学、无穷级数、常微分方程以及线性代数的行列式、矩阵、向 量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法应 注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能 力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基 本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用 所学知识分析并解决简单的实际问题 本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解” 和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会” 、 “掌握”和“熟 练掌握”三个层次 考试用时：120 分钟 考试范围及要求 一、函数、极限和连续 （一）函数 理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值。 考试大纲 禁止翻印 2 会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单的分段函数图像。 会建立简单实际问题的函数关系式。 理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性， 会判断所给函数的类别。 了解函数 y= （x）与其反函数 y= -1（x）之间的关系 （定义域、值域、图象） ，会求单调函数的反函数。 理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合 函数的复合过程。 掌握基本初等函数及其简单性质、图象。 了解初等函数的概念及其性质。 （二）极限 理解极限的概念，会求数列极限及函数在一点处的左极 限、右极限和极限，了解数列极限存在性定理以及函数在一点处 极限存在的充分必要条件。 了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则（包括 数列极限与函数极限） 。 熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 了解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量与无穷 大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等 价） 。会运用等价无穷小量代换求极限。 （三）连续 理解函数在一点连续与间断的概念，会判断简单函数（含 考试大纲 禁止翻印 3 分段函数）的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系。 会求函数的间断点及确定其类型。 掌握闭区间上连续函数的性质，会运用零点定理证明方 程根的存在性。 了解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求 极限。 二、一元函数微分学 （一）导数与微分 理解导数的概念，了解导数的几何意义以及函数可导性 与连续性之间的关系，会用定义判断函数的可导性。 会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数 的求导方法，会求反函数的导数。 掌握隐函数以及由参数方程所确定的函数的求导方法， 会使用对数求导法，会求分段函数的导数。 了解高阶导数的概念，会求初等函数的高阶导数。 理解函数的微分概念及微分的几何意义，掌握微分运算 法则及一阶微分形式的不变性，了解可微与可导的关系，会求函数 的微分。 （二）中值定理及导数的应用 了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意 考试大纲 禁止翻印 4 义。会用罗尔中值定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中值 定理证明简单的不等式。 熟练掌握用洛必达法则求“ 0 ” 、 “ ” 、 “ 0 ” 、 “ ” 、 0 “1 ” 、 “ 00 ”和“ 0 ”型等未定式的极限。 会利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区 间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式。 了解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最大（小） 值的方法，并且会解简单的应用问题。 会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线。 三、一元函数积分学 （一）不定积分 理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质， 了解原函数存在定理。 熟练掌握基本的积分公式。 熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于 三角代换与简单的根式代换） 。 掌握不定积分的分部积分法。 会求简单有理函数及简单无理函数的不定积分。 （二）定积分 理解定积分的概念与几何意义，了解函数可积的条件。 掌握定积分的基本性质。 考试大纲 禁止翻印 5 了解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限定 积分求导数的方法。 熟练掌握牛顿莱布尼茨公式。 掌握定积分的换元积分法与分部积分法。并会证明一些 简单的积分恒等式。 理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。 掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积会求平 面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积。 四、向量代数与空间解析几何 （一）向量代数 理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向 量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。 掌握向量的线性运算、向量的数量积以及两向量的向量 积的计算方法。 了解两向量平行、垂直的条件。 （二）平面与直线 会求平面的点法式方程、一般式方程。会判定两平面的 垂直、平行。 会求点到平面的距离。 了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数 式方程。会判定两直线平行、垂直。 会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面 考试大纲 禁止翻印 6 上） 。 （三）简单的二次曲面 了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、圆锥面、椭球面、抛 物面、和双曲面的方程及其图形。 五、多元函数微积分学 （一）多元函数微分学 了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数 的极限与连续概念（对计算不作要求） 。会求二元函数的定义域。 理解偏导数概念，了解全微分概念及其全微分存在的必 要条件与充分条件。 掌握二元函数的一、二阶偏导数计算方法。 掌握复合函数一阶偏导数的求法（含抽象函数） 。 会求二元函数的全微分（不含抽象函数） 。 掌握由方程 F（x，y，z）=0 所确定的隐函数 z=z（x，y） 的一阶偏导数的计算方法。 会求空间曲线的切线和法平面方程，会求空间曲面的切平面 和法线方程。 8会求二元函数的无条件极值。会应用拉格朗日乘数法求解 一些最大值最小值问题。 （二）二重积分 理解二重积分的概念及其性质。 掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法。 考试大纲 禁止翻印 7 n p 会用二重积分解决简单的应用问题（限于空间封闭曲面 所围成的有界区域的体积） 。 （三）曲线积分 了解对坐标的曲线积分的概念及性质。 掌握对坐标的曲线积分的计算。 掌握格林（Green）公式。掌握曲线积分与路径无关的条件， 并会应用于曲线积分的计算中。 六、无穷级数 （一）数项级数 理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的必要条件， 了解级数的基本性质。 掌握正项级数的比较判别法、比值判别法和根值判别法。 掌握几何级数 r n 、调和级数 1 与 p 级数 1的敛散 n=0n =1 nn=1 性。 会使用莱布尼茨判别法。 理解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会判定任意项级 数绝对收敛与条件收敛的方法。 （二）幂级数 了解幂级数的概念。 掌握幂级数在其收敛区间内的逐项求导与逐项积分的性 质与方法。 掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间（不要求讨论端点） 考试大纲 禁止翻印 8 的方法。 会运用 e x ， sin x ， cos x ， ln(1 + x) ， 1 的麦克劳林展开式， 1 x 将一些简单的初等函数展开为 x 或 x x0 的幂级数。 七、常微分方程 （一）一阶微分方程 理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、 初始条件和特解。 掌握可分离变量方程的解法。 掌握一阶线性微分方程的解法。 （二）二阶线性微分方程 了解二阶线性微分方程解的结构。 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。 了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法（自由项限 定为 f ( x) = P ( x)e x ，其中 P ( x) 为 x 的 n 次多项式。 为实常数） 。 nn 八、线性代数 （一）行列式 了解行列式的概念，掌握行列式的性质。 会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算 行列式。 （二）矩阵 理解矩阵的概念。了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、 对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质。 考试大纲 禁止翻印 9 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵乘积的行列式 及它们的运算规律。 理解逆矩阵的概念，掌握矩阵可逆的充分必要条件，理 解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆矩阵。 掌握矩阵的初等变换，了解矩阵秩的概念，掌握用初等 变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。 （三）向量 了解 n 维向量的概念，向量的线性组合与线性表示。 理解向量组线性相关与线性无关的定义，掌握判别向量 组线性相关性的方法 了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会 求向量组的极大线性无关组和秩。 （四）线性方程组 掌握克莱姆法则。 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次 线性方程组有解的充分必要条件。 了解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念 了解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念 掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法