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函数的单调性与导数 课件

  • 资源ID:142730505       资源大小:2.45MB        全文页数:33页
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函数的单调性与导数 课件

1.3.1 函数的单调性与导数,(4).对数函数的导数:,(5).指数函数的导数:,(3).三角函数 :,(1).常函数:(C)/ 0, (c为常数);,(2).幂函数 : (xn)/ nxn1,一、复习回顾:基本初等函数的导数公式,函数 y = f (x) 在给定区间 G 上,当 x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 时,函数单调性判定,单调函数的图象特征,1)都有 f ( x 1 ) f ( x 2 ),,则 f ( x ) 在G 上是增函数;,2)都有 f ( x 1 ) f ( x 2 ),,则 f ( x ) 在G 上是减函数;,若 f(x) 在G上是增函数或减函数,,增函数,减函数,则 f(x) 在G上具有严格的单调性。,G 称为单调区间,G = ( a , b ),二、复习引入:,在( ,0)和(0, ) 上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。,在( ,1)上是减函数,在(1, )上是增函数。,在( ,)上是增函数,概念回顾,画出下列函数的图像,并根据图像指出每个函数的单调区间,(1)函数的单调性也叫函数的增减性;,(2)函数的单调性是对某个区间而言的,它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。,(3)单调区间:针对自变量x而言的。 若函数在此区间上是增函数,则为单调递增区间; 若函数在此区间上是减函数,则为单调递减区间。,以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1<x2的前提下,比较f(x1)<f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.,如何利用导数研究函数的单调性呢?,观 察:,下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 的图象, 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?,a,a,b,b,t,t,v,h,O,O,运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,(1),(2),x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,y = x,y = x2,y = x3,观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.,在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数 在这个区间内单调递增; 如果 ,那么函数 在这个区间内单调递减.,如果恒有 ,则 是?。,常函数,例1 已知导函数 的下列信息:,当1 < x < 4 时,当 x 4 , 或 x < 1时,当 x = 4 , 或 x = 1时,试画出函数 的图象的大致形状.,解:,当1 < x < 4 时, 可知 在此区间内单调递增;,当 x 4 , 或 x < 1时, 可知 在此区间内单调递减;,当 x = 4 , 或 x = 1时,综上, 函数 图象的大致形状如右图所示.,例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:,解:,(1) 因为 , 所以,因此, 函数 在 上单调递增.,(2) 因为 , 所以,当 , 即 时, 函数 单调递增;,当 , 即 时, 函数 单调递减.,例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:,解:,(3) 因为 , 所以,因此, 函数 在 上单调递减.,(4) 因为 , 所以,当 , 即 时, 函数 单调递增;,当 , 即 时, 函数 单调递减.,练习,2.讨论二次函数 的单调区间.,解:,由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是,由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是,练习,判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:,变式训练,1、求可导函数f(x)单调区间的步骤:,归纳:,(2)求f(x),(3)解不等式f(x)0(或f(x)<0),(4)确认并指出递增区间(或递减区间),(1)求函数的定义域,例3,练习,3.求证: 函数 在 内是减函数.,解:,由 , 解得 , 所以函数 的递减区间是 , 即函数 在 内是减函数.,2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法:,归纳:,(2)确认f(x)在(a,b)内的符号,(3)作出结论,(1)求f(x),例4 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.,(A),(B),(C),(D),h,t,O,h,t,O,h,t,O,h,t,O,1-B,2-A,3-D,4-C,一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.,如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或 内的图象平缓.,增例2:求参数,解:由已知得,因为函数在(0,1上单调递增,增例2:,本题用到一个重要的转化:,在某个区间上, ,f(x)在这个区间上单调递增 (递减);但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而 仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于0 也能使f(x)在这个区间上单调, 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证,说明:,例3:方程根的问题 求证:方程 只有一个根。,小结:,2.求可导函数f(x)单调区间的步骤: (1)求f(x) (2)解不等式f(x)0(或f(x)<0) (3)确认并指出递增区间(或递减区间),3.证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法: (1)求f(x) (2)确认f(x)在(a,b)内的符号 (3)作出结论,再见!,

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