（新教材）高中数学必修第一册第4章 4.4.3不同函数增长的差异

,4.4.3不同函数增长的差异,第四章4.4对数函数,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型. 2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,知识梳理,题型探究,随堂演练,1,知识梳理,PART ONE,知识点三种常见函数模型的增长差异,增函数,增函数,增函数,快于,快于,axkxlogax,1.当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.() 2.一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测.() 3.函数 衰减的速度越来越慢.() 4.由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意xR恒有ax2x(a1).(),思考辨析 判断正误,SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU,2,题型探究,PART TWO,例1四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：,一、几类函数模型增长差异的比较,关于x呈指数函数变化的变量是_.,y2,解析从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化. 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化. 从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快， 画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化.,反思感悟,常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型 线性函数模型ykxb(k0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变. (2)指数函数模型 指数函数模型yax(a1)的增长特点是随着变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”. (3)对数函数模型 对数函数模型ylogax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.可称为“对数增长”.,跟踪训练1有一组数据如下表：,现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是 A.vlog2t B. C.v2t1 D.v2t2,解析从表格中看到此函数为单调增函数，排除B， 增长速度越来越慢，排除C和D， 故选A.,二、函数模型的选择问题,例2某人对东北一种松树生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择hmtb与hloga(t1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.,解据表中数据作出散点图如图.,由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理. 不妨将(2,1)代入到hloga(t1)中，得1loga3，解得a3. 故可用函数hlog3(t1)来刻画h与t的关系. 当t8时，求得hlog3(81)2， 故可预测第8年松树的高度为2米.,反思感悟,不同函数模型的选取标准 (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律. (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律. (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度逐渐平缓的变化规律.,解析对于A，x1,2时，符合题意，x3时，y0.6，与0.76相差0.16； 对于B，x1时，y0.3；x2时，y0.8；x3时，y1.5，相差较大，不符合题意； 对于C，x1,2时，符合题意，x3时，y0.8，与0.76相差0.04，与A比较，符合题意； 对于D，x1时，y0.2；x2时，y0.45；x3时，y0.6<0.7，相差较大，不符合题意.,跟踪训练2(1)某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系式大致可以是,(2)某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.58千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减. 下列几个模拟函数中： yax2bx； ykxb； ylogaxb； yaxb(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L). 用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由.,解用来模拟比较合适. 因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量更多，然后向两边递减.而表示的函数在区间上是单调函数，所以都不合适，故用来模拟比较合适.,三、指数函数、对数函数与二次函数模型的比较,例3函数f(x)2x(x0)和g(x)x2(x0)的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；,解C1对应的函数为g(x)x2， C2对应的函数为f(x)2x.,(2)求点A，B的坐标；,解因为f(2)4，g(2)4，f(4)16，g(4)16， 所以A(2,4)，B(4,16).,(3)结合函数图象，判断f(3)，g(3)，f(2 019)，g(2 019)的大小.,解由图象和(2)可知，当0g(x)，当24时，f(x)g(x)， 所以f(2 019)g(2 019)，f(3)g(3)， 故f(2 019)g(2 019)g(3)f(3).,反思感悟,指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法 (1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断. (2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.,3,随堂演练,PART THREE,1,2,3,4,5,1.下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是 A.y50 B.y1 000 x C.y50 x2 D.y,解析指数函数yax，在a1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快，故选D.,1,2,3,4,5,2.三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：,则关于x分别呈对数型函数，指数型函数，直线型函数变化的变量依次为 A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y1，y3，y2,1,2,3,4,5,解析通过指数型函数，对数型函数，直线型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律； 指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律； 直线型函数的增长速度稳定不变，y1随x的变化符合此规律，故选C.,1,3,4,5,2,3.甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1<v2)，则下图中能正确反映甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系的是,1,3,4,5,2,4.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是_.(填序号) y101.05x；y20 x1.5；y30lg(x1)；y50.,1,3,4,5,2,5.随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为_元.(精确到个位) (附：1.0661.42,1.0671.50,1.0681.59),4 500,解析根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过x年， 该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y3 0001.06x， 因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x7代入， 即可求得y3 0001.0674 500.,课堂小结,KE TANG XIAO JIE,1.知识清单：三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型. 2.方法归纳：把实际问题转化为数学问题. 3.常见误区：实际问题应有定义域并作答.,本课结束,