苏科版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》课件

1.3一元二次方程的根与系数的关系,一、复习回顾,1.一元二次方程的一般形式 2.回顾公式法解一元二次方程,（ ）,1,2,-2,-1,2,-2,0,3,1、填表：,3,-3,3,2,-3,2,5,6,-5,6,3,0,二、新知探索观察与发现,观察下面这些二次项系数不为“1”的一元二次方程，找找它们的根与各系数之间还有之前的关系吗？,结论：,如果一元二次方程ax2bxc0 （a0）， 的两个根分别x1、x2，那么：,，,二、新知探索结论,又称：韦达定理,韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。,三、了解历史 谁是韦达,二、新知探索揭示规律,一元二次方程 ax2bxc0 （a0），如果b24ac0，它的两个根分别是x1、x2,则,二、新知探索揭示规律,二、新知探索揭示规律,例1 求下列方程两根的和与两根的积： （1）x22x50； （2）2x2x1.,需要解方程吗？,四、例题与练习,判断,下面的结论是否正确？ 1.设x1和x2是一元二次方程x2+5x+6=0的两个根， 则x1+x2=5 2.设x1和x2是一元二次方程x2-3x=1的两个根， 则x1x2=1 3.设x1和x2是一元二次方程x2+2x+3=0的两个根， 则x1x2=3.,结论的补充： 1.要写成一般形式以后才能得出a、b、c。 2.注意隐藏条件：根的判别式b2-4ac 0,练 1、不解方程，求方程两根的和两根的积：,例1 变式：设x1，x2是方程x22x50的两个根，不解方程，求下列各式的值。,变式练习,例2 利用根与系数关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别为1，-4,1、若一元二次方程x2mx+2=0的一个根是2，则 另一个根是_，m =_。,2、若一元二次方程x2mx+n=0的两根是3和-2，则 m =_，n =_。,3、若关于x的方程 x2 +(m2-25)x + m+1 = 0的两个实数根互为相反数，则m=_。,若一元二次方程x2 +x-10=0的两个实数根是m、n，不解方程，则 m2 -3m - 4n =_。,例3已知方程 的一个根是1，求它的另一个根及 的值。,解：,把x=1代入方程，得 12+m14=0,解这方程，得 m= 3,由根与系数关系，得x14, x 4,答：方程的另一个根是4 , m的值是3。,四、例题与练习,练习3 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。,解：,将方程的根x=2带入原方程得：,x2+x-6=0,答：方程的另一个根是3 , k的值是2。,四、例题与练习,由韦达定理得另一个根为x=3,22(k+1)2+3k=0,所以k=2,将k=2带入原方程得：,六、课堂小结,1、一元二次方程根与系数关系,2、利用此关系解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意两个隐含条件：,（1）化为一般形式ax2+bx+c=0(a0),（2）根的判别式b2-4ac0,设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。,拓展提高拓展提高,解：由方程有两个实数根，得,即-8k+40,由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2, X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4,由X12+x22 =4，得2k2-8k+44,解得k1=0 , k2=4,经检验， k2=4不合题意，舍去。, k=0,