数据分析与建模 实验报告 实验四 最优化模型的建模分析

学生学号实验课成绩学 生 实 验 报 告 书实验课程名称数据分析与建模开 课 学 院管理学院指导教师姓名鄢 丹学 生 姓 名学生专业班级2018 2019 学年 第 1 学期 实验报告填写说明1 综合性、设计性实验必须填写实验报告，验证、演示性实验可不写实验报告。2 实验报告书必须按统一格式制作（实验中心网站有下载）。3 老师在指导学生实验时，必须按实验大纲的要求，逐项完成各项实验；实验报告书中的实验课程名称和实验项目必须与实验指导书一致。4 每项实验依据其实验内容的多少，可安排在一个或多个时间段内完成，但每项实验只须填写一份实验报告。5 每份实验报告教师都应该有签名、评分表及实验报告成绩。6 教师应及时评阅学生的实验报告并给出各实验项目成绩，完整保存实验报告。在完成所有实验项目后，教师应按学生姓名将批改好的各实验项目实验报告装订成册，构成该实验课程总报告，按班级交到实验中心，每个班级实验报告袋中附带一份实验指导书及班级实验课程成绩表。7 实验报告封面信息需填写完整，并给出实验环节的成绩，实验环节成绩按其类型采取百分制或优、良、中、及格和不及格五级评定（与课程总成绩一致），并记入课程总成绩中。1实验课程名称：_ 数据分析与建模_ 实验项目名称实验四 最优化模型的建模分析实验成绩实 验 者专业班级组 别无同 组 者无实验日期2018年10月18日第一部分：实验预习报告（包括实验目的、意义，实验基本原理与方法，主要仪器设备及耗材，实验方案与技术路线等）一、实验目的、意义本实验旨在通过资料查阅和上机实验，使学生熟悉和掌握最优化模型的分析方法和理论，掌握数据分析工具Mathematica，培养和提高数据分析的能力。二、实验基本原理与方法最优化模型的分析方法，数据分析工具Mathematica的使用方法，以及帮助指南文档等。三、实验内容及要求最优化模型的建模分析，写出求解过程及分析结论。1、彩电生产问题的最优化分析一家彩电制造商计划推出两种新产品：一种19英寸液晶平板电视机，制造商建议零售价为339美元；另一种21英寸液晶平板电视机，零售价为399美元。公司付出的成本为19英寸彩电每台195美元，21英寸彩电每台225美元；还要加上400000美元的固定成本。在竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。而且19英寸彩电的销售会影响21英寸彩电的销售，反之亦然。据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸彩电的平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。（1）每种彩电应该各生产多少台，每种彩电的平均售价是多少？（2）最大的盈利利润是多少，利润率是多少？2、彩电生产的关税问题分析仍然是上述的无约束的彩电问题。由于公司的装配厂在海外，所以美国政府要对每台电视机征收25美元的关税。（1）将关税考虑进去，求最优生产量。这笔关税会使公司有多少花费？在这笔花费中，有多少是直接付给政府，又有多少是销售额的损失？（2）为了避免关税，公司是否应该将生产企业重新定址在美国本土上？假设海外的工厂可以按每年200000美元的价格出租给另一家制造公司，在美国国内建设一个新工厂并使其运转起来每年需要花费550000美元。这里建筑费用按新厂的预期使用年限分期偿还。（3）征收关税的目的是为了促使制造公司美国国内建厂。能够使公司愿意在国内重新建厂的最低关税额是多少？（4）将关税定得足够高，使公司要重建工厂。讨论生产量和利润关于关税的灵敏性。说明实际关税额的重要性。提示：Mathematica中的命令，Solve，D， ReplaceAll (/.)，等。可结合Excel进行列表分析。3、写出简短程序，绘制特殊图形在Mathematica中分别绘制以下五类基本初等函数，依次为：（1）幂函数：y=x （R是常数）；（2）指数函数：y=ax （a>0，且a1）；（3）对数函数：y=logax （a>0且a1，特别当a=e时，记为y=lnx）；（4）三角函数：如y=sin x，y=cos x，y=tan x 等；（5）反三角函数：如y=arcsin x，y=arccos x，y=arctan x 等。四、实验方案或技术路线（只针对综合型和设计型实验）按照实验任务要求，理论结合实际的实验方案，巩固课程内容，温故知新，查遗补漏，夯实理论基础，提升实验动手能力。技术路线是，从整体规划，分步骤实施，实验全面总结。第二部分：实验过程记录（可加页）（包括实验原始数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等）1、彩电生产问题的最优化分析（1）求解过程：本题采用五步法求解。【第一步：提出问题】首先，列出变量表，写出这些变量间的关系和所做的其他假设。比如，有的要求取值非负。然后，采用引入的符号，将问题用数学公式表达。第一步的结果归纳如下：变量：s = 19英寸彩电的售出数量（每年）t = 21英寸彩电的售出数量（每年）p = 19英寸彩电的销售价格（美元）q = 21英寸彩电的销售价格（美元）C = 生产彩电的成本（美元/年）R = 彩电销售的收入（美元/年）P = 彩电销售的利润（美元/年）假设：p = 339 0.01s 0.003tq = 399 0.004s 0.01tR = p*s + q*tC= 400 000 + 195s +225tP = R Cs0, t0 目标：求P的最大值【第二步：选择建模方法】本题的彩电问题属于无约束的多变量最优化问题，这类问题通常用多元微积分来解决。【第三步：推导模型的表达式】P = R C = p*s + q*t (400 000 + 195s +225t) = (339 0.01s 0.003t)*s + (399 0.004s 0.01t)*t (400 000 + 195s +225t) 此处我令y = P作为求最大值的目标变量，x1 = s, x2 = t作为决策变量。故原问题可化为：在区域 S = (x1, x2) : x10, x20 上对：y = f (x1, x2) = (339 0.01*x1 0.003*x2)*x1 + (399 0.004*x1 0.01*x2)*x2 (400 000 + 195*x1 +225*x2) 求最大值。【第四步：求解模型】利用第二步选择的微积分的方法来求解。a. 首先，用Mathematica绘出函数f的三维图像。绘制二元函数3D图形的命令：Plot3D函数, 第一变量的范围, 第二变量的范围, 可选项图1 函数f的三维图像由上图可知，f是一个抛物面，且f在S内部达到最大值。b. 然后，再用Mathematica绘出函数f的等高线图。绘制二元函数等高线图的命令：ContourPlot函数, 第一变量的范围, 第二变量的范围, 可选项图2 函数f的等高线图由上图可以估计，f的最大值出现在x1 = 5000，x2 = 7000附近。c. 利用Mathematica 分别求出函数f关于x1，x2的偏导数。d. 函数f是一个抛物面 ，欲求得其最高点，只需令x1和x2的偏导数同时为0，建立方程组求解即可。该方程组可利用Mathematica的Solve函数求解，解得：x1 = 4735.044735 , x2 = 7042.747043e. 将求得的x1, x2的值代入函数f的表达式：f (x1, x2) = (339 0.01*x1 0.003*x2)*x1 + (399 0.004*x1 0.01*x2)*x2 (400 000 + 195*x1 +225*x2) 即可求得f的最大值。求得f的最大值 = 553641 其中，c、d、e应用Mathematica求解的运行结果如下图所示：图3 应用Mathematica求解f. 求解其他变量：19英寸彩电的平均售价：p = 339 0.01*x1 0.003*x2 = 270.52（美元）21英寸彩电的平均售价：q = 399 0.004*x1 0.01*x2 = 309.63（美元）生产彩电的总成本：C= 400 000 + 195*x1 +225*x2 = 2908000（美元/年）利润率 = 利润/总成本 = 553641/2908000 = 19%【第五步：回答问题】这家公司可以通过生产4735台19英寸彩电和7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年获得的净利润为553641美元。每台19英寸彩电的平均售价为 270.52 美元，每台21英寸彩电的平均售价为 309.63 美元。生产总支出为 2908000 美元，相应的利润率为19% 。（2）分析结论：这些结果显示出这是有利可图的，因此建议这家公司应该实行推行新产品的计划。注意：以上得到的结论是以彩电问题的第一步中所做的假设为基础的。实际中，在向公司报告结论之前，应该对彩电市场和生产过程所做的假设进行灵敏性分析，以保证结果具有稳健性。2、彩电生产的关税问题分析（1）将关税考虑进去，求最优生产量。这笔关税会使公司有多少花费？在这笔花费中，有多少是直接付给政府，又有多少是销售额的损失？本题依旧采用五步法求解。【第一步：提出问题】首先，列出变量表，写出这些变量间的关系和所做的其他假设。然后，采用引入的符号，将问题用数学公式表达。在前面所述无约束彩电问题的基础上，增加以下变量和假设：变量：k = 支付的关税总额（美元/年）W = 关税后的总利润（美元/年）假设：k = 25*(s + t)W = P k 目标：求W的最大值【第二步：选择建模方法】本题的彩电问题属于无约束的多变量最优化问题，这类问题通常用多元微积分来解决。【第三步：推导模型的表达式】W = P k = (339 0.01s 0.003t)*s + (399 0.004s 0.01t)*t (400 000 + 195s +225t) 25*(s + t)此处我令y = W作为求最大值的目标变量，x1 = s, x2 = t作为决策变量。故原问题可化为：在区域 S = (x1, x2) : x10, x20 上对：y = w (x1, x2) = (339 0.01*x1 0.003*x2)*x1 + (399 0.004*x1 0.01*x2)*x2 (400 000 + 195*x1 +225*x2) 25*(x1 + x2) 求最大值。【第四步：求解模型】利用第二步选择的微积分的方法来求解。a. 首先，用Mathematica绘出函数w的三维图像。绘制二元函数3D图形的命令：Plot3D函数, 第一变量的范围, 第二变量的范围, 可选项图4 函数w的三维图像由上图可知，w是一个抛物面，且w在S内部