排列、组合、概率和统计复习

排列、组合、概率和统计复习【知识网络】排列排列数公式 抽样方法，总体分布的估计总体期望值和方差的估计统计相互独立事件同时发生的概率互斥事件有一个发生的概率等可能事件的概率随机事件及其概率概率应用系数性质通项公式二项式定理组合数性质排列、组合应用题组合数公式组合两个基本原理排列、组合，概率和统计【学法点拨】1、本章是高考数学相对独立的内容，不论是思考还是解题技巧，与其他章节都有很大的不同.纵观近十年高考题，都以考查基本概念、基本知识和基本运算为主，能力要求主要是考查分析问题和解决问题的能力.2、在高考数学中，排列组合二次式定理与概率统计都是必考的内容.在解排列组合应用题及计算等可能事件的概率时常常交替使用分类计数原理与分步计数原理，因此，一定要重视对这两个原理的理解和应用.由于概率统计是近年高考新增的内容，对处理随机现象等问题的思考方法不太习惯和适应，因此教学时应注意知识和方法的循序渐近，选择例题不必过难，应着重体现解题思路和解题方法.3、学习本章还需要注意以下几个方面的问题：（1）对于一些容易混淆的概念，如排列与排列数、组合与组合数、排列与组合、二项式系数与二项展开式每项的系数、互斥事件与对立事件等应注意弄清它们之间的联系与区别.（2）对于本章的一些公式，要注意运用它们的前提条件.例如，只有对于等可能事件A来说，才能运用公式P（A）=；只有对于互斥事件A与B来说，才能运用公式：P（A+B）=P（A）+P（B）；只有对一相互独立事件A与B来说，才能运用公式P（AB）=P（A）P（B）等等.（3）注意体会解决本章应用题的思考方法.正向思考时要善于将稍复杂的问题进行分解，解决有些问题时，还要学会运用逆向思考的方法.（4）本章内容与初中数学中的统计初步、高中数学必修的排列、组合和概率的内容有较密切的联系，在学习中注意复习有关内容.（5）学习统计这部分内容时，应着重体会概念的实际意义，突出统计中处理问题的基本思想方法，亲自动手，结合使用计算器解决一些简单、典型的实际问题.专题一 两个计数原理【考点指津】1、掌握分类计数原理及分步计数原理，并能运用这两个原理分析和解决一些简单的问题.2、弄清分类计数原理与分步计数原理的基本概念，区分是“整体分类完成”，还是“局部分步完成”的事件.分类时，不遗漏不重复；分步时，正确设计分步程序.【知识在线】1、某校开公开课共10节，其中4节语文、3节数学、3节外语，若要求选一堂课进行录像，则共有4+3+3=10种方法，若要求三门学科各选一堂进行录像，则有433=36种方法.2、已知集合A=a，b，c，d，e，B=1，0，1，则从集合A到集合B的不同映射有_个.3、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 （ B ）A、12对 B、24对 C、36对 D、48对4、从5门不同的文科学科与4门不同的理科学科中任选4门，组成一组综合高考科目组.若要求这组科目中文、理科都有，则不同的选法种数是 （ C ）A、60种 B、80种 C、120种 D、140种5、电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排最多可产生_256_种不同的信息.4321【讲练平台】例1 用五种不同颜色给图中四个区域涂色，如果每一区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，那么涂色方法有多少种？解 先涂区域1有种，再涂区域2有种，再涂区域3有种，最后涂区域4有种，根据分步计数原理可求得答案.简解 =240，所以涂色方法有240种.例2 （1999全国高考）某电脑用户使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法共有 （ ）A、5种 B、6种 C、7种 D、8种析 500360270=180，设用剩余的180元选购单片软件x片，盒装磁盘y盒，则60x+70y180元（x，yN）.当x=0时，y=0，1，2；当x=1时，y=0，1；当x=2时，y=0；当x=3时，y=0.不等式共7组解， 选购方法有7种.评 对“至多”，“至少”问题，可考虑“剩余”问题，使问题的求解得到简化.如果设选购单片软件x片，盒装磁盘y盘，则60x+70y500，（x，yN），此时，又如何对x，y的范围进行分类讨论？试试看.例3 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？解 要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，因0不能为首位，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，有5种选法；第三步确定个位上的数字也有5种选法，根据分步计数原理，得到可以组成三位数的个数为N=455=100.评 这类问题首先要明确：（1）“完成一件事”指什么？，（2）如何完成这件事？即分步还是分类？（3）应用分类计数原理还是分步计数原理.变 如果将本题中加注的条件“各位上的数字允许重复”改为“各位上的数字不允许重复”又如何来求解呢？例4 赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中挑选6人上艇，平均分配在两舷上划浆，问有多少种选法？析 用集合的文氏图来表示10个运动员的分布情况，然后从三类中挑选出6个运动员.325解法一 依只会划左舷的人入选与否分类有=675种；解法二 依只会划右舷的人入选与否分类有=675种.评 用图示法来分析，使得本题中的分类和分步计算十分清晰，例3的数字问题也可以用图示的方法来分析和求解.例5 设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球投放入这五个盒子内，要求每个盒子内投放一球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法有多少种？析 五个球分别投放入五个盒子内，恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则其他三个球必不能投放到与球的编号相同的盒子内，此时，这三个球与对应的三个盒子，就成了受限制的特殊元素与特殊位置.解 先在五个球中任选两个球投放到与球编号相同的盒子内，有种；剩下的三个球，不失一般性，不妨设编号为3，4，5，投放3号球方法数，则投放4，5号球的方法只有一种，根据分步计数原理有=20种.评 本题投放球有两种，一种是投入到与编号相同的盒子内，另一是投入到与编号不同的盒子内，故应分步完成.变 如果恰好有四个球的编号与盒子的编号相同，投放方法有多少种？ 如果恰好有三个球的编号与盒子的编号相同，投放方法有多少种？ 如果恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，投放方法有多少种？【知能集成】1、分类计数原理和分步计数原理是解决排列、组合问题的理论基础.这两个原理的本质区别在于分类与分步，分类用分类计数原理，分步用分步计数原理.2、元素能重复的问题往往用分步计数原理.【训练反馈】一、选择题：1、公园有四个门，人一个门进，另一个门出，具有不同走法 （ C ）A、16种 B、13种 C、12种 D、10种2、从集合1，2，3和1，4，5，6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是 （ D ）A、12 B、11 C、24 D、233、从A、B、C、D、E五名学生中选出四名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（ C ）A、90 B、60 C、72 D、14404、把4封不同的信全部任意投入到3个信箱中，不同的投法种数是（ C ）A、 B、 C、 D、5、设椭圆的焦点在轴上,，则这样的椭圆个数共有 （ D ）A、35个 B、25个 C、21个 D、20个提示：首先确定的、值的对应一个椭圆，故椭圆个数为确定、值的方法数.二、填空题：6、5个应届高中毕业生报考三所重点院校，每人报且报一所院校，则有 243 种不同报名法.7、（1999年全国高考）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法具有_12_种.（用数字作答）8、有红、黄、蓝三种卡片各5张，每种卡片上分别写上1、2、3、4、5五个数字，如果每次取4张，要求颜色齐全，数字不同，那么取法总数为180提示：三、解答题：9、五名学生报名，参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？提示：5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件，故报名方法数为44444=45（种）.每个项目只有一个冠军，每一名学生都可获得其中的一项冠军，因此每个项目获冠军的可能性有5种，故有n=5555=54（种）. 解（略）.10、从1到100这一百个自然数中，每次取2数使它们的和大于100，共有多少种取法？提示：100可与其前面99个数之一相加，99可与其前面97个数之一相加直到51仅与一个数50相加，故有1+3+5+97+99=2500种.11、在10名学生中，有5人会安装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会装电脑又会装音响设备，今选派由6人组成的安装小组，组内专门安装电脑的3人，安装音响设备的3人，共有多少种不同选人的方案？提示： 按具有双项技术的学生分类：（1）两人都不选派，有=10种；（2）两人中选派1人，有（+）=80种；（3）两人全派，有+=95种；综上，符合条件的方案有10+80+95=185种.12、（选做）球台上有4个黄球，6个红球，击黄球人袋记2分，红球人袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分，击球方法有几种？提示：设击入黄球x个，红球y个符合要求，则有，相应每组解，击球方法数分别为，.共有不同击球方法数为+=195.专题二 排列【考点指津】理解排列的意义，掌握排列数的计算公式，并能用它解决一些简单的问题.【知识在线】1、456（n1）n等于 （ D ）A、 B、 C、 D、2、1！+2！+3！+100！的个位数字为_3_