2020高考数学（理科）增分大二轮人教版增分练：第二部分 专题5 增分强化练（三十一） Word版含解析

增分强化练(三十一)考点一范围、最值问题(2019大连模拟)已知抛物线C：x22py (p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2交于点M.(1)求p的值；(2)若l1l2，求MAB面积的最小值解析：(1)由题意知，抛物线焦点为：，准线方程为：y，焦点到准线的距离为2，即p2. (2)抛物线的方程为x24y，即yx2，所以yx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l1：y(xx1)，l2：y(xx2)，由于l1l2，所以1，即x1x24.设直线l方程为ykxm，与抛物线方程联立，得，所以x24kx4m0，16k216m>0，x1x24k，x1x24m4，所以m1.即l：ykx1，联立方程，得，即M(2k，1)，M点到直线l的距离d，|AB|4(1k2)，所以S4(1k2)4(1k2)4，当k0时，MAB面积取得最小值4.考点二定点、定值问题(2019南昌模拟)已知椭圆C：1(a>b>0)，点M在C的长轴上运动，过点M且斜率大于0的直线l与C交于P，Q两点，与y轴交于N点当M为C的右焦点且l的倾斜角为时，N，P重合，|PM|2.(1)求椭圆C的方程；(2)当N，P，Q，M均不重合时，记，若1，求证：直线l的斜率为定值解析：(1)因为当M为C的右焦点且l的倾斜角为时，N，P重合，|PM|2，所以a|PM|2，故tan，因为a2b2c2，因此c，b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：设l：xtym(m0)，所以M(m,0)，N，所以kl.因为斜率大于0，所以t>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则，由得，x1x2，同理可得y1y2，两式相乘得，x1y1x2y2，又1，所以x1y1x2y2，所以(ty1m)y1(ty2m)y2，即t(yy)m(y2y1)，即(y2y1)0，由题意kl>0，知y1y20，所以mt(y1y2)0.联立方程组，得(t24)y22tmym240，依题意，y1y2，所以m0，又m0，所以t24，因为t>0，故得t2，所以kl，即直线l的斜率为.考点三存在性问题已知抛物线y24x，过点P(8，4)的动直线l交抛物线于A，B两点(1)当P恰为AB的中点时，求直线l的方程；(2)抛物线上是否存在一个定点Q，使得以弦AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解析：(1)设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，当P恰为AB的中点时，显然x1x2，故kAB，又y1y28，故kAB，则直线l的方程为yx.(2)假设存在定点Q，设Q，当直线l斜率存在时，设l：yk(x8)4(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，整理得ky24y32k160，>0，y1y2，y1y232，由以弦AB为直径的圆恒过点Q知0，即(y1y0)(y2y0)0，即(y1y0)(y2y0)(y1y0)(y2y0)0，故(y1y0)(y2y0)16，即y1y2y0(y1y2)y160，整理得(y16)k4(y04)0，即当y04时，恒有0，故存在定点Q(4,4)满足题意；当直线l斜率不存在时，l：x8，不妨令A(8,4)，B(8，4)，Q(4,4)，也满足0，综上所述，存在定点Q(4,4)，使得以弦AB为直径的圆恒过点Q.