福建师范大学2020年8月课程考试《高等代数选讲》作业考核试题（答案）

谋学网www.mouxue.com福建师范大学网络教育学院高等代数选讲 期末考试A卷教学中心 专业 学号 姓名 成绩 一、 单项选择题（每小题4分，共20分）1设是阶方阵，是一正整数，则必有（D）； ； 。 2设为矩阵，为矩阵，则（ A ）。若，则； 若，则；若，则； 若，则；3中下列子集是的子空间的为（ A ） ；，43元非齐次线性方程组，秩，有3个解向量， ，则的一般解形式为（ C ）.（A），为任意常数（B） ，为任意常数（C） ，为任意常数 （D） ，为任意常数5已知矩阵的特征值为，则的特征值为（ D ）； ； ； 。二、 填空题（共20分）1（6分）计算行列式 2 ； 16 。2（4分）设，则 0 ； 0 。3（3分）计算 132-4-6-5798 。4（4分）若，则 1 ； -2 。5（3分）当满足1,-2 时，方程组有唯一解。三（10分）计算阶行列式：解：Dn=33201320130000000000003213-23201320130000000000003213从而Dn=3Dn-1-2Dn-2，则Dn-Dn-1=2Dn-1-Dn-2=2n-2(D2-D1)D2=3213=7, D1=3因此Dn-Dn-1=2n-24=2nDn=Dn-1+2n=D1+22+23+2n=1+2+22+23+2n该等比数列前n+1项的和为：Dn=1(1-2n+1)1-2=2n+1-1四已知矩阵满足，求解：设A=11-10221-10，B=22140-2066 计算得A=6，可知矩阵A可逆则XAA-1=BA-1，即X=BA-1A*=21421-2-212，A-1=1AA*=1316231316-13-131313X=BA-1=22140-20661316231316-13-131313=111202060五（10分）利用综合除法将表示成的方幂和的形式。解：使用综合除法1100001111111111123112341361136114fx=x4=x-14+4x-13+6x-12+4x-1+1六（15分）试就讨论线性方程组解的情况，并在有无穷多解时求其通解。解：设A=12t123t2p11，B=474A=12t123t2p11474，对A进行初等行变换：12t123t2p11474r2-2r1r3-pr112t10-t001-2tp1-p4-14-4p若该非其次线性方程组有无穷多解，需要满足rA=rA<3增广矩阵第一行元素不全为零增广矩阵第二行元素不全为零而增广矩阵第三行元素应全为零，p=1，t=0.5A1010-0.500002-10X2=2X1=2-X3令X3=k，则通解为X=2-k2k=220+k-101七（15分）设矩阵，1 求矩阵的所有特征值与特征向量；2 求正交矩阵，使得为对角矩阵。解：1. A-E=1-2221-2221-=5-(1+)2令A-E=0，得A的特征值为5，-1，-1将1=5代入A-EX=0中得基础解系为1=(1,1,1)，其对应的全部特征向量为k11，其中k1为任意非零常数。将2=3=1代入A-EX=0中得基础解系为2=(1,-1,0), 3=(1,0,-1)，其对应的全部特征向量为k22+k33，其中k2，k3为不全为零的常数2. 使用施密特正交化法：1=1=(1,1,1)2=2-(2,1)(1,1)1=2-031=2=(1,-1,0)3=3-(3,1)(1,1)1-(3,2)(2,2)2=3-031-122=(12,12,-1)将其单位化，得：1=(13,13,13)2=(12,-12,0)3=(16,16,-23)P=1,2,3=13121613-1216130-23第 9 页 共 5 页