《大学物理2》 磁场习题课2

1,大学物理,习题讨论课,第16章 电磁场 法拉第电磁感应定律 动生电动势 感生电动势 自感和互感 磁场的能量 位移电流 麦克斯韦方程组 电磁波,大学物理教研室：郑采星,2,1.如图所示，在磁感应强度B=7.610-4T 的均匀磁场中，放置一个线圈。此线圈由两个半径均为3.7cm且相互垂直的半圆构成，磁感应强度的方向与两半圆平面的夹角分别为620和280。若在 4.510-3S 的时间内磁场突然减至零，试问在此线圈内的感应电动势为多少？,3,解：由各种原因在回路中所引起的感应电动势，均可由法拉第电磁感应定律求解，即,但在求解时应注意下列几个问题：,1回路必须是闭合的，所求得的电动势为回路的总电动势。,2应该是回路在任意时刻或任意位置处的磁通量。它由,计算。对于均匀磁场则有,其中,为闭会回路在垂直于磁场的平面内的投影面积。,4,对于本题，,1和2为两半圆形平面法线与B之间的夹角。,3感应电动势的方向可由-d/dt来判定， 教材中已给出判定方法。为方便起见，所取回路的正向（顺时针或逆时针）应与穿过回路的B的方向满足右螺旋关系，此时恒为正值，这对符号确定较为有利。,迎着B的方向，取逆时针为线圈回路的正向。由法拉第电磁感应定律，有,，说明感应电动势方向与回路正向一致。,5,2. 如图所示，真空中一长直导线通有电流 ，式中为t 时间，I0 、为正常量；另一长为l1、宽为l2的矩形导线框与长直导线平行共面。设时刻 t 二者相距为a，矩形框正以速率v向右运动，求此时刻线框内的感应电动势。,解:取线框面积的正法向垂直纸面向里，则通过线框的磁通量（由长直电流所提供）为,其中a也是随时间变化的，而且da/dt=v，有,参考：习题16.10,6,由法拉第电磁感应定律得,显然，它是大于零的，表明感应电动势在线框内取顺时针方向，可以通过楞次定律进行验证。,通常用法拉第电磁感应定律来计算闭合路径中的感应电动势，得出的是整个回路的总感应电动势，它可能是动生与感生电动势的总和。,7,在中固定a，仅对 t求导数得感生电动势,以顺时针为正方向,8,3.有两根相距为d 的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以dI/dt的变化率增长。若有一边长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示。求线圈中的感应电动势。,解1：穿过面元dS的磁通量为,因此穿过线圈的磁通量为,再由法拉第电磁感应定律，有,9,解2:当两长直导线有电流I通过时，穿过线圈的磁通量为,线圈与两长直导线间的互感为,当电流以 dI/dt 变化时，线圈中的互感电动势为,10,4.如图所示，用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆。使这根半圆形导线在磁感应强度为B的匀强磁场中以频率f 旋转，整个电路的电阻为R，求感应电流的表达式和最大值。,解：由于磁场是均匀的，故任意时刻穿过回路的磁通量为,其中0等于常量，S为半 圆面积，,根据法拉第电磁感应定律，有,因此回路中的感应电流为,则感应电流的最大值为,11,5. 长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行，矩形线圈的边长分别为a、b，它到直导线的距离为c（如图），当矩形线圈中通有电流I = I0sint时，求直导线中的感应电动势。,解:如果在直导线中通以稳恒电流I，在距离为r处产生的磁感应强度为B =0I/2r在矩形线圈中取一面积元dS=bdr，通过线圈的磁通量为,互感系数为,当线圈中通以交变电流I = I0sint时，直导线中的感应电动势大小为,M12=M21=M,M=？,参考：习题16.17,12,6.如图所示，把一半径为R的半圆形导线OP置于磁感应强度为B 的均匀磁场中，当导线以速率v水平向右平动时，求导线中感应电动势的大小，哪一端电势较高？,解1：如图所示，假想半圆形导线OP在宽为2R的静止在“”形导轨上滑动，两者之间形成一个闭合回路。设顺时针方向为回路正向，任一时刻端点O或端点P距“”形导轨左侧距离为x，,13,由于静止的“”形导轨上的电动势为零，则,式中负号表示电动势的方向为逆时针，对OP段来说瑞点P的电势较高。,穿过该闭合回路的磁通量：,14,解2：建立如图所示的坐标系，在导体上任意处取导体元 dl，则,由矢量,的指向可知，端点P的电势较高。,15,解3：连接OP使导线构成一个闭合回路。由于磁场是均匀的，在任意时刻，穿过回路的磁通量,由法拉第电磁感应定律,可知:,又因,即,由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导体回路平动所产生的动生电动势为零；而任意曲线形导体上的动生电动势就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势。,UpU0,16,7.电磁涡流制动器是一个电阻率为 ，厚度为b的圆盘，此盘绕通过其中心的垂直轴旋转，且有一覆盖小面积为a2的均匀磁场B垂直于圆盘，小面积离轴r（ra）当圆盘角速度为时，试导出阻碍圆盘转动的磁力矩的近似表达式。,解: 将圆盘与磁场相对的部分当成长、宽和高分别为a、a和b的小导体，其横截面积为 S = ab，,电流将从横截面中流过，小块长a，因此其电阻为,宽为a的边扫过磁场，速度大小为 v = r，,产生的动生电动势为 = Bav = Bar，,通过小导体的电流强度为I = /R = Barb/ ，,所受的安培力为 F = IaB = B2a2rb/ ，,方向与速度方向相反产生的磁力矩为,M = Fr = B2a2r2b/,参考：习题16.5,17,8.如图所示，一长为，质量为m的导体棒CD，其电阻为R，沿两条平行的导电轨道无摩擦地滑下，轨道的电阻可忽略不计，轨道与导体构成一闭合回路。轨道所在的平面与水平面成 角，整个装置放在均匀磁场中，磁感应强度B的方向为竖直向上。求：（1）导体在下滑时速度随时间的变化规律；（2）导体棒CD的最大速度vm。,参考：习题16.4,感应电流所受安培力的方向？,18,如图所示，导体棒在下滑过程中除受重力P和导轨支持力FN外，还受到一个与下滑速度有关的安培力FA ，这个力是阻碍导体棒下滑的。根据安培定律，该力的大小为,导体棒沿轨道方向的动力学方程为,将式（l）代入式（2），并令,则有,分离变量并两边积分,19,得,由此得导体在t时刻的速度,由上式可知，当,分离变量并两边积分,此即为导体棒下滑的稳定速度，也是导体棒能够达到的最大速度，其vt 图线如图所示。,1978年全国高考物理试题,20,9.在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向与柱的轴线平行。如图所示，有一长为l 的金属棒放在磁场中，设B随时间的变化率为常量。试证：棒上感应电动势的大小为,21,证1：取 闭合回路OPQ 由法拉第电磁感应定律，有,OP、QO段，因为Ek（涡旋电场）的方向与径向垂直，与 矢量点积为0。,所以：,22,证2：在rR 区域，感生电场强度的大小,设PQ上线元 dx 处，Ek的方向如图所示，则金属杆PQ上的电动势为,23,D, ,24,扇形面积S1,三角形面积S2,B/t 一致，且 S1 S2,25,10. 两个线圈的自感分别为L1和L2，它们之间的互感为M (1) 将两个线圈顺串联，如图a所示，求1和4之间的互感； (2) 将两线圈反串联，如图b所示，求1和3之间的自感,参考：习题16.19,解：两个线圈串联时，通以电流 I 之后，总磁场等于两个线圈分别产生的磁场的矢量和磁场的能量为：,P157（16.16）,26,（1）当两个线圈顺串时，两磁场的方向相同， = 0，所以,P160（16.19）,自感系数为,（2）当两个线圈反串时，两磁场的方向相反， =，所以,自感系数为,27,11. 在垂直图面的圆柱形空间内有一随时间变化的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直图面向里。在图面内有两条相交于O点的夹角为600的直导线Oa和Ob，而O点则是圆柱形空间与图面的交点。此外，在图面内另有一半径为r 半圆环形导线在上述两条直线上以速度匀速滑动。的方向与aOb的平分线一致，并指向O点(如图)。,在时刻t，半圆环的圆心正好与O点重合。此时磁感应强度大小为B。磁感应强度大小随时间的变化率为k(k为正数)。求此时半圆环的导线与两条直线围成的闭合回路CODC中的感应电动势。,28, 1由涡旋电场所形成，它相当于半圆导线处于t 时刻所在位置静止不动时，回路CODC中的感生电动势，所以,解：顺时钟为绕行方向。回路中感应电动势由 感生电动势 1和动生电动势 2两部分叠加而成,注意下列几个问题：,1回路必须是闭合的，所求得的电动势为回路的总电动势。,2应该是回路在任意时刻或任意位置处的磁通量。,？,29,CD弧上的动生电动势相当于CD弦上的动生电动势，所以,若vBrk/6则 的方向与所设正向一致，即顺时钟方向；vB rk/6 ，则 的方向与所设正向相反，即逆时钟方向。,30,思考题: 金属探测器的探头内通入脉冲电流,才能测到埋在地下的金属物品发回的电磁信号。能否用恒定电流来探测？埋在地下的金属为什么能发回电磁信号？,金属探测器除了军事上的用途之外，还广泛应用于公安侦破、安全检查、废金属回收、检查地下的金属管道(线路)、帮助人们发现地下隐埋的金属文物和金银财宝。它是建筑施工、自来水管检查、供变电检查、探铁、探矿、考古等作业不可缺少的工具。,山东郯城的拾荒人孟某花了一千多元钱购买了一只金属探测器，使得他近日的经济效益大增。据孟某介绍，废金属越来越不好找了，他便学着同行的样子从外地购买了这种“先进仪器”。已经使用了20多天，“产量”翻了好几倍，共拾取了500多公斤废金属。,31,金属探测器的电路框图,参考解答：当金属探测器的探头内通入脉冲电流（变化电流）时，它就会产生变化的磁场，从而使位于地下的金属物品中产生感应电流。当探测线圈靠近金属物体时，由于电磁感应现象，会在金属导体中产生涡电流，使振荡回路中的能量损耗增大，正反馈减弱，处于临界态的振荡器振荡减弱，甚至无法维持振荡所需的最低能量而停振。如果能检测出这种变化，并转换成声音信号，根据声音有无，就可以判定探测线圈下面是否有金属物体了。,如果探头内通入的是恒定电流，金属物品中就不会有感应电流，不能发回电磁信号，也就无法探测到地下的金属。,