概率论与数理统计第一章课后答案
概率论与数理统计习题及答案第一章1略.见教材习题参考答案.2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算关系式表示下列事件:(1) A发生,B,C都不发生; (2) A,B,C都发生; (3) A,B,C至少有一个发生;(4) A,B,C都不发生; (5) A,B,C不都发生;(6) A,B,C至多有1个不发生; 【解】(1) (2) (3) (4) = (5) (6) =3.略.见教材习题参考答案4.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P().【解】 P()=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.65.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求:(1) 在什么条件下P(AB)取到最大值?(2) 在什么条件下P(AB)取到最小值?【解】(1) 当AB=A时,,取到最大值为0.6.(2) 当AB=时,,取到最小值为0.3.6.设A,B,C为三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率.【解】 因为P(AB)=P(BC)=0,所以P(ABC)=0,由加法公式可得 =+-=7.从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?【解】 设表示“取出的13张牌中有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花”,则样本空间中样本点总数为 , 中所含样本点 ,所求概率为8.对一个五人学习小组考虑生日问题:(1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率;(3) 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1) 设A1=五个人的生日都在星期日,基本事件总数为75,有利事件仅1个,故 P(A1)=()5 (亦可用独立性求解,下同)(2) 设A2=五个人生日都不在星期日,有利事件数为65,故P(A2)=()5(3) 设A3=五个人的生日不都在星期日P(A3)=1-P(A1)=1-()59.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N件,其中M件正品.从中随机地取出n件(n<N).试求其中恰有m件(mM)正品(记为A)的概率.如果:(1) n件是同时取出的;(2) n件是无放回逐件取出的;(3) n件是有放回逐件取出的.【解】(1)n件是同时取出, 样本空间中样本点总数为, 中所含样本点 ,所求概率为 ;(2) 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有种,n次抽取中有m次为正品的组合数为种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M件正品中取m件的排列数有种,从N-M件次品中取n-m件的排列数为种,故由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成可以看出,用第二种方法简便得多.(3) 由于是有放回的抽取,每次都有N种取法,故所有可能的取法总数为种,n次抽取中有m次为正品的组合数为种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m次取得正品,都有M种取法,共有种取法,n-m次取得次品,每次都有N-M种取法,共有种取法,故此题也可用贝努里概型,共做了n重贝努里试验,每次取得正品的概率为,则取得m件正品的概率为11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少?【解】设A=发生一个部件强度太弱,样本空间中样本点总数为, 中所含样本点 ,因此,所求概率为 13.一个袋内装有大小相同的7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率.【解】 设Ai=恰有i个白球(i=2,3),显然A2与A3互不相容. 样本空间中样本点总数为, 中所含样本点数为 ,中所含样本点数为 ,故 所求概率为 14.有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒,求:(1) 两粒都发芽的概率;(2) 至少有一粒发芽的概率;(3) 恰有一粒发芽的概率.【解】设Ai=第i批种子中的一粒发芽,(i=1,2)注意到相互独立,所求概率为(1) (2) (3) 15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.(1) 问正好在第6次停止的概率;(2) 问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率.【解】(1) 设表示“正好在第6次停止”,表示“第5次出现正面”,事件发生意味着“前5次中恰好出现两次正面,且第六次出现正面”,事件发生意味着“前4次中恰好出现1次正面,且第五、六次出现正面”,由伯努利概型公式可知,所求概率为(1) (2) 16.甲、乙两个篮球运动员,投篮命中率分别为0.7及0.6,每人各投了3次,求二人进球数相等的概率.【解】 设Ai=甲进i球,i=0,1,2,3,Bi=乙进i球,i=0,1,2,3,三次投篮可以看做是3重伯努利试验,由伯努利概型公式可知,所求概率为 =0.3207617从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 设 表示“4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双”,从5双不同的鞋子中任取4只,取法总数为, 表示“4只鞋子中没有配对的鞋子”,中所含基本事件数为, 所求概率为 18.某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求:(1) 在下雨条件下下雪的概率;(2) 这天下雨或下雪的概率.【解】 设A=下雨,B=下雪.(1) (2) 19.已知一个家庭有3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的).【解】 设A=其中一个为女孩,B=至少有一个男孩,样本点总数为23=8,故或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7.20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).【解】 设A=此人是男人, B=此人是色盲,则=此人是女人,显然,是样本空间的一个划分,且,由贝叶斯公式得 21.两人约定上午9001000在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率. 题21图 题22图【解】设两人到达时刻分别为,则,可知样本空间是“边长为60的正方形区域”,设表示 “一人要等另一人半小时以上”,等价于,如图阴影部分所示.由几何概型的概率公式可得22.从(0,1)中随机地取两个数,求:(1) 两个数之和小于的概率;(2) 两个数之积小于的概率.【解】设两数分别为,则,可知样本空间是“边长为1的正方形区域”. (1)设表示 “两个数之和小于”,等价于,如图阴影部分所示.由几何概型的概率公式可得 (2) 设表示 “两个数之积小于”,等价于,如图阴影部分所示.由几何概型的概率公式可得 23.设P()=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5,求P(BA)【解】 24.在一个盒中装有15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设Ai=第一次取出的3个球中有i个新球,i=0,1,2,3.B=第二次取出的3球均为新球。显然,是样本空间的一个划分。由全概率公式,有25. 按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问:(1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人?(2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人?【解】设A=被调查学生是努力学习的,则=被调查学生是不努力学习的,显然,是样本空间的一个划分,由题意知P(A)=0.8,P()=0.2,又设B=被调查学生考试及格.由题意知P(B|A)=0.9,P(|)=0.9,故由贝叶斯公式知(1) 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A和B传递出来,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为21.若接收站收到的信息是A,试问原发信息是A的概率是多少?【解】 设A=原发信息是A, C=收到信息是A,则则=原发信息是B,=收到信息是B由贝叶斯公式,得 27.在已有两个球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若发现这球为白球,试求箱子中原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种)【解】设Ai=箱中原有i个白球(i=0,1,2),显然,是样本空间的一个划分。由题设条件知P(Ai)=,i=0,1,2.又设B=抽出一球为白球.由贝叶斯公式知28.某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A=产品确为合格品,B=产品被认为是合格品由贝叶斯公式得 29.某保险公司把被保险人分为三类:“谨慎的”,“一般的”,“冒失的”.统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30;如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少?【解】 设A=该客户是“谨慎的”,B=该客户是“一般的”,C=该客户是“冒失的”,D=该客户在一年内出了事故则由贝叶斯公式得 30.加工某一零件需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率.【解】设Ai=第i道工序出次品(i=1,2,3,4). 31.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设表示“进行n次独立射击至少击中一次”,则表示“进行n次独立射击一次都没击中”。由题意知即 ,解不等式得 n11,故至少必须进行11次独立射击.32.证明:若P(AB)=P(A),则A,B相互独立