初中数学建模选讲.pdf

初中数学建模选讲 一、数学建模在初中数学 学习的意义 九年义务教育数学课程标准中指出：数学可以 帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社 会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断， 同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。 数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、 整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题， 直接为社会创造价值。 数学教学要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学 模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对 数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观 等多方面得到进步和发展。近几年，不仅每年高考 都出了应用题， 中考也加强了应用题的考察，这些 应用题以数学建模为中心，以考察学生应用数学的 能力，但学生在应用题中的得分率远底于其他题， 原因之一就是学生缺乏数学建模能力和应用数学意 识。因此中学数学教师应加强数学建模的教学，提 高学生数学建模能力，培养学生应用数学意识和创 新意识， 二、如何进行初中数学建模？ 数学建模是建立数学模型的过程的缩略表示，可用下面的框图 来说明这一过程 ： 实际问题 抽象、简化，明确变量和参数 根据某种“定律”或“规律”建立变量和参数间的 一个明确的数学关系 解析地或近似地求解该数学问题 解释、验证 投入使用 通不过 通过 三、初中数学建模的过程 1.审题 建立数学模型，首先要认真审题。实 际问题的题目一般都比较长，涉及的名词、 概念较多，因此要耐心细致地读题，深刻分 解实际问题的背景，明确建模的目的；弄清 问题中的主要已知事项，尽量掌握建模对象 的各种信息；挖掘实际问题的内在规律，明 确所求结论和对所求结论的限制条件。 2.简化 根据实际问题的特征和建模的目的， 对问题进行必要简化。抓住主要因素，抛 弃次要因素，根据数量关系，联系数学知 识和方法，用精确的语言作出假设。 3.抽象 将已知条件与所求问题联系起来，恰 当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字 语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式 子、图形或表格等形式表达出来，从而建立 数学模型。按上述方法建立起来的数学模型， 是不是符合实际，理论上、方法上是否达到 了优化，在对模型求解、分析以后通常还要 用实际现象、数据等检验模型的合理性。 四、初中数学建模具体分析方法 A.关系分析法：通过寻找关键量之间的数量关 系的方法来建立问题的数学模型方法。 B.列表分析法：通过列表的方式探索问题的数 学模型的方法。 C.图象分析法：通过对图象中的数量关系分析 来建立问题的数学模型的方法。 五、初中常见数学应用题的基本数学 模型 1.建立几何图形模型 2.建立方程或不等式模型 3.建立三角函数模型 4.建立函数模型 5.建立统计模型 1、建立几何模型 诸如工程定位、边角余料加工、 拱桥计算、皮带传动、修复破残 轮片、跑道的设计与计算等应用 问题，涉及一定图形的性质常需 建立几何模型，转化为几何问题 求解 例1如图1，足球赛中，一球员带球 沿直线 l逼近球门 AB，他应在什么地 方起脚射门最为有利？ 分析这是几何定位问题，根据常识， 起脚射门的最佳位置P应该是直线 l上 对AB张角最大的点，此时进球的可 能性最大，问题转化为在直线l上求点 P使 APB最大为此，过 AB两点 作圆与直线 l相切，切点 P即为所 求当直线 l垂直线段 AB时，易知 P点 离球门越近，起脚射门越有利可见 “临门一脚”的功夫理应包括选取起 脚射门的最佳位置。 例2（2004年淄博市中考题）在日 常生活中，我们经常看到一些窗户上 安装着遮阳蓬，如图（1）。现在要 为一个面向正南的窗户设计安装一个 遮阳蓬，已知该地区冬天正午太阳最 低时，光线与水平线的夹角为34； 夏天正午太阳最高时，光线与水平线 的夹角为 76。 把图画成图，其中 AB表示窗户的高， BCD表示直角形遮阳蓬。 （1）遮阳蓬 BCD怎样设计，才能正好在冬天正午太阳最低时光线最大 限度地射入室内而夏天正午太阳最高时光线刚好不射入室内？请在图中 画图表示； （2）已知 AB150cm ，在（ 1）的条件下，求出 BC，CD的长度（精 确到1cm）。 解：（ 1）如图。 （2）如图，设 BCx，CDy。在RtADC和RtDBC中， ， 答：BC、CD的长度分别约为 30cm、 45cm 。 二、建立三角模型 对测高、测距、航海，燕尾 槽、拦水坝、人字架的计算等应 用问题，则可建立三角模型，转 化为解三角形问题 例1 海中有一小岛 A，它周围 8海里内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛 A 在北偏东 60，航行 12海里到达 D点，这时测 得小岛 A在北偏东 30如果渔船不改变航向， 继续向东捕捞，有没有触礁的危险？ 简析根据题意作出如图 2的示意图， 继续航行能否触礁，就是比较AC与8 的大小。问题转化为解直角三角形， 求AC的长。 AC 3、建立方程模型 对现实生活中广泛存在的等量 关系，如增长率、储蓄利息、浓 度配比、工程施工及人员调配、 行程等问题，则可列出方程转化 为方程求解问题 例1某家俱的标价为 132元，若降价 为9折出售即优惠 10)，仍可获利 10 (相对于进资价 )。求该家俱的进货 价。 简析设该家惧的进货价为x 元则问题转化为求方程 例2如图3(1)，在宽为 20m，长为 32m的矩形 耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向一条 横向且横向与纵向互相垂直)把耕地分成大小 相等的六块作实验田，要使实验地面积为 570m2 ，问道路应为多宽？(1997年安徽省中 考题) 简析如图3(2)作整体思考，设 道路的宽为 x，则问题转化为求方 程(20 x)(322x)570的解，解 得x11，x235(不合题意，舍 去)。 例3（2004年山东省枣庄市中考题） 某家庭新购住房需要装修，如果甲、 乙两个装饰公司合做，12天可以完 成，需付装修费 1.04万元；如果甲公 司先做 9天，剩下的由乙公司来做， 还需16天完成，共需付装修费1.06 万元。若只选一个装饰公司来完成 装修任务，应选择哪个装饰公司？ 试说明理由 解：设甲公司单独做 x天完成，乙公 司单独做 y天完成。根据题意，得 解之，得 。 设甲公司单独完成装修工程需装修费a万元，乙 公司单独完成装修工程需装修费b万元。则 解之，得 所以，甲公司完成装修工程需21天，装修费 0.98万元； 乙公司完成装修工程需 28天，装修费 1.12万元。从节约 时间、节省开支的角度考虑，应选择甲公司来完成此项 装修任务。 4、建立直角坐标系模型 当变量的变化具有 (近似)函数 关系，或物体运动的轨迹具有某 种规律时，可通过建立平面直角 坐标系，转化为函数图象问题求 解。 例1在如图 4所示的自动喷灌设备中，喷出 的水流呈现抛物线状设水管AB高出地面 15米水流最高点 C比喷头 B高2米，且与 B 点连线夹角与水平面成 45，求水流落地点 到A点的距离。 简析因水流路线是抛物线，可建 立如图 4所示的平面直角坐标系，问 题转化为求抛物线与 x轴交点的横坐 标由已知条件可求得抛物 例2（2004年安徽南山区中考题）如图， 一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运 行，然后准确落入篮框内。已知篮框的中 心离地面的距离为 3.05米。 （1）球在空中运行的最大高度为多少米？ （2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的 高度为 2.25米，请问他距离篮框中心的水平距 离是多少？ 的顶点坐标为（ 0，3.5） 球在空中运行的最大高度为 3.5米 解：（ 1）抛物线 （2）在 当y3.05时x1.5又 x0 x1.5 当y2.25时x2.5又 x0 x2.5 故运动员距离篮球中心水平距离为1.5 2.54米 对于飞机投物、打炮射击、投 篮、平抛 等问题，其物体运动的 轨迹都是抛物线，往往可转化为 二次函数图象问题去解决当变 量之间具有线性关系时，则可转 化为直线或平面区域问题去解 决 5、建立目标函数模型 对于现实生活中普遍存在的 最优化问题，如造价用料最少， 利润产出最大等，可透过实际背 景、建立变量之间的目标函数， 转化为函数极值问题 例1某商店如将进货价为 8元的 商品按每件 10元出售，每天可销 售200件，现在采用提高售价， 减少进货量的方法增加利润，已 知这种商品每涨价 0.5元，其销售 量就减少 10件，问应将售价定为 多少时，才能使所赚利润最大， 并求出最大利润 简析设每件售价提高 x元，则每 件得利润 (2x)元，每天销售量变 为(20020 x)件，所获利润 y(2 x)(20020 x)20(x4)2 720故当 x4时，即售价定为 14 元时，每天可获最大利润720元 例2（2004年山东省烟台市）先阅读下面的 材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的n（n1）台机床 在工作，我们要设置零件供应站P，使这 n台机 床到供应站 P的距离总和最小，要解决这个问 题，先退到比较简单的情形： 如图，如果直线上有 2台机床时，很明显设 在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和 乙走的距离之和等于 A1到A2的距离。 如图，如果直线上有 3台机床时，不难判断， 供应站设在中间一台机床A2处最合适，因 为如果 P放在A2处，甲乙和丙所走的距离 之和恰好为 A1到A3的距离，而如果把 P放 到别处，例如 D处，那么甲和丙所走的距离 之和仍是 A1到A3的距离，可是乙还得走从 A2到D的这一段，在是多出来的，一次P放 在A2处是最佳选择。 不难知道，如果直线上有4台机床， P应设在第 2台与第 3台之间的任何地方；有 5台机床， P应 设在第 3台的位置。 问题（ 1）：有 n台机床时， P应设置在何处？ 问题（ 2）：根据问题的结论 ,求x1+ x2+x3+ x617的最小值。 解：（ 1）当n为偶数时， P应设在第台和（ 1）台之 间的任何地方， 当n为奇数时， p应设在第台的位置。 （2）根据绝对值的几何意义，求x1+x2 +x3+ x617的最小值就是在数轴 上找出表示 x的点，使它到表示 1，2，617各点 的距离之和最小，根据问题1的结论，当 x309时， 原式的值最小。 最小值是： 3091+3092+3093 + 309308+0+309310+309311 + 309311+309616+309 617308307306112308 30830995172 。 6、建立不等式模型 在市场经营、生产决策和社会生 活中，如估计生产数量，核定价 格范围，盈亏平衡分析，投资决 策等，则可挖掘实际问题所隐含 的数量关系，转化为不等式(组) 的求解或目标函数在闭区间的最 值问题。 例1某工厂生产的产品每件单 价是80元，直接生产成本是 60元， 该工厂每月其它总开支是50000 元如果该工厂计划每月至少要 获得200000 元利润，假定生产的 全部产品都能卖出，问每月的生 产量应是多少？ 简析设每月生产 x件产品，则总 收入为 80 x，直接生产成本为 60 x， 每月利润为 80 x60 x50000 20 x50000 问题转化为求不等 式20 x50000200000的解解 得x12500( 件)。 例2（2004年河北省中考题）光华农机租赁公 司共有 50台联合收割机，其中甲型20台，乙型 30台。先将这 50台联合收割机派往 A、B两地区 收割小麦，其中 30台派往 A地区， 20台派往 B地 区。 两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价 格见下表： 每台甲型收割机的 租金 每台乙形收割机 的租金 A地区1800元1600元 B地区1600元1200元 （1）设派往 A地区x台乙型联合收割机，租 赁公司这 50台联合收割机一天获得的租金为y （元），求 y与x间的函数关系式，并写出x的 取值范围； （2）若使农机租赁公司这 50台联合收割机一 天获得的租金总额不低于 79600 元，说明有 多少种分配方案