人教版八年级数学上册第十三章《 等腰三角形》教学课件

13.3 等腰三角形 13.3.1 等腰三角形,第一课时,第二课时,第一课时,等腰三角形的性质,看到下面三角形了吗，它有何特点呢？,底边,我们今天来探讨一下等腰三角形的性质.,1. 探索并掌握等腰三角形的两个性质,2.会运用等腰三角形的概念和性质解决有关问题.,等腰三角形的性质,把一张长方形的纸按图中的虚线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？,A,B,C,AB=AC,等腰三角形,【思考】ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？,A,C,D,B,折痕所在的直线是它的对称轴.,等腰三角形是轴对称图形.,把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.,A,C,B,D,AB与AC,BD与CD,AD与AD,B 与C,BAD 与CAD,ADB 与ADC,【思考】由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？ 说一说你的猜想.,已知：ABC中，AB=AC,求证：B=C.,【思考】如何构造两个全等的三角形？,猜想:等腰三角形的两个底角相等.,如何证明两个角相等呢？,可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证.,已知： 如图，在ABC中，AB=AC. 求证： B= C.,D,证明：,作底边的中线AD， 则BD=CD.,AB=AC ( 已知 )，,BD=CD ( 已作 )，,AD=AD (公共边)，, BAD CAD (SSS)., B= C (全等三角形的对应角相等).,在BAD和CAD中,方法一：作底边上的中线.,还有其他的证法吗？,已知： 如图，在ABC中，AB=AC. 求证： B= C.,D,证明：,作顶角的平分线AD， 则BAD=CAD.,AB=AC ( 已知 ),BAD=CAD ( 已作 ),AD=AD (公共边), BAD CAD (SAS)., B= C (全等三角形的对应角相等).,方法二：作顶角的平分线,在BAD和CAD中,由BAD CAD，除了可以得到B= C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？,解：BAD CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,ADB=ADC，BAD=CAD. 又 ADB+ADC=180， ADB=ADC= 90 ， 即AD是等腰ABC底边BC上的中线、顶角BAC的角平分线、底边BC上的高线 .,D,【想一想】,性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).,如图,在ABC中, AB=AC(已知), B=C(等边对等角).,性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.,即：等腰三角形,顶角平分线,底边上的高线,底边上的中线,具备其中一条,另外两条成立,AB=AC, 1=2(已知)， BD=CD, ADBC（等腰三角形三线合一）,AB=AC, BD=CD (已知)， 1=2, ADBC（等腰三角形三线合一）,AB=AC, ADBC(已知)， BD=CD, 1=2（等腰三角形三线合一）,数学语言：如图, 在ABC中,画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？,不重合,【思考】 为什么不一样？,（1）等腰三角形的顶角一定是锐角. （2）等腰三角形的底角可能是锐角，也可能是直角、钝角. （3）钝角三角形不可能是等腰三角形. （4）等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. （5）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. （6）等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,1.明辨是非.,（ ）,例1 如图，在ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.,分析：（1）找出图中所有相等的角；,（2）指出图中有几个等腰三角形？,A=ABD,C=BDC=ABC；,ABC,ABD,BCD.,等腰三角形性质的应用,（3）观察BDC与A、ABD的关系，ABC、C呢？,BDC= A+ ABD=2 A=2 ABD,ABC= BDC=2 A,C= BDC=2 A.,（4）设A=x ,请把 ABC的内角和用含x的式子表示出来., A+ ABC+ C=180 ， x+2x+2x=180 ,解：AB=AC，BD=BC=AD， ABC=C=BDC， A=ABD. 设A=x，则BDC= A+ ABD=2x, 从而ABC=C=BDC=2x. 于是在ABC中，有 A+ABC+C=x+2x+2x=180 . 解得x=36 . 所以，在ABC中，A=36，ABC=C=72.,在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.,2.如图，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=26，求B和C的度数.,解：AB=AD=DC B= ADB，C= DAC. 设 C=x，则 DAC=x， B= ADB= C+ DAC=2x， 在ABC中， 根据三角形内角和定理，得 2x+x+26+x=180， 解得x=38.5. C= x=38.5， B=2x=77.,例2 等腰三角形的一个内角是50，则这个三角形的底角的大小是() A65或50 B80或40 C65或80 D50或80,A,等腰三角形的分类讨论问题,方法点拨：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论,3.等腰三角形一个底角为75,它的另外两个角为_； 4.等腰三角形一个角为70,它的另外两个角为_； 5.等腰三角形一个角为110,它的另外两个角为_.,75, 30,70,40或55,55,35,35,例3 已知点D、E在ABC的边BC上，ABAC. (1)如图，若ADAE，求证：BDCE； (2)如图，若BDCE，F为DE的中点，求证：AFBC.,利用等腰三角形的性质证明线段间的关系,证明：(1)如图，过A作AGBC于G. ABAC，ADAE， BGCG，DGEG， BGDGCGEG， BDCE； (2)BDCE，F为DE的中点， BDDFCEEF， BFCF. ABAC，AFBC.,图,图,G,在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线,6. 如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EFAB，垂足为F. (1)若BAD25，求C的度数； (2)求证：EFED.,(1)解：ABAC，AD是BC边上的中线， BADCAD，BAC2BAD50. ABAC， CABC (180 BAC) (180 50)65. (2)证明：ABAC，AD是BC边上的中线， EDBC， 又BG平分ABC，EFAB， EFED.,1.等腰三角形的一个底角为50，则它的顶角的度数为_,80,2.如图，AD，CE分别是ABC的中线和角平分线若AB=AC，CAD=20，则ACE的度数是（） A20B35C40D70,B,2.如图，在ABC中，AB=AC，过点A作ADBC，若1=70，则BAC的大小为（） A40 B30 C70 D50,A,1.等腰三角形有一个角是90，则另两个角分别是（ ） A30，60 B45，45 C45，90 D20，70,B,3.(1)等腰三角形一个底角为45,它的另外两个角为_； (2)等腰三角形一个角为36,它的另外两个角为_； (3)等腰三角形一个角为120,它的另外两个角为_.,45, 90,72,72或36,108,30，30,4.在ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50，则底角的大小为_,70或20,1.如图，在ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，B = 30，求 BAD 和 ADC的度数.,解：AB=AC，, C= B=30， BD = CD，ADBC, ADB=ADC = 90., BAD =90 B = 60.,2.如图，已知ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且DBCF，求证：ECDF.,DBCECB. DBCF，ECBF， ECDF.,证明：ABC为等腰三角形，ABAC，,ABCACB.,又BD、CE为底角的平分线， ,A、B是44网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置,分别以A、B、C为顶角 顶点来分类讨论！,8个,这样分类就不会漏啦！,C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,等腰三角形的性质,等边对等角,三线合一,注意是指同一个三角形中.,注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质.,易错点拨,（1）求等腰三角形角的度数时，如果没有明确是底角还是顶角必须分类讨论. （2）等腰三角形“三线合一”定理，角平分线指的是“顶角平分线”.,第二课时,等腰三角形的判定,A,B,C,如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得B=C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？,1.掌握等腰三角形的判定方法，并运用其进行证明和计算.,2.通过学习等腰三角形的判定方法，使学生能从正反两个方面认识等腰三角形，养成科学的思维习惯.,如图，在ABC中, B=C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?,请同学用直尺和量角器，画一个ABC，其中B=C=30，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？,AB=AC,你能验证你的结论吗？,小活动,等腰三角形的判定,在ABD与ACD，,1=2，, ABD ACD（AAS）.,B=C，,AD=AD，,AB=AC.,过A作AD平分BAC交BC于点D.,证明：, AC=AB. ( ) 即ABC为等腰三角形.,B=C， ( ),等腰三角形的判定方法：,如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”，这又是一个判定两条线段相等的根据之一）.,已知,等角对等边,在ABC中，,应用格式：,（等角对等边）.,（等角对等边）.,错，因为都不是在同一个三角形中.,【思考】如图,下列推理正确吗?,例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形,已知： 如图，CAE是ABC的外角，1=2，ADBC,求证：AB=AC,证明：ADBC， 1=B（两直线平行，同位角相等）， 2=C（两直线平行，内错角相等） 又1=2， B=C， AB=AC（等角对等边）,利用等腰三角形的判定定理判定三角形的形状,1. 已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E. 求证：AED是等腰三角形.,证明：AB=DC，BD=CA，AD=DA,ABDDCA(SSS),ADB=DAC(全等三角形的对应角相等),AE=DE(等角对等边）, AED是等腰三角形.,例2 已知：如图，ADBC，BD平分ABC. 求证：AB=AD.,证明： ADBC， ADB=DBC. BD平分ABC， ABD=DBC， ABD=ADB， AB=AD.,总结：平分角+平行=等腰三角形,由平行及角平分线识别等腰三角形,2.如图，已知OC平分AOB，CDOB，若OD3cm，则CD等于_.,3cm,3.如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？,答：是.,由折叠可知，EBD=CBD.,ADBC，,EDB=EBD， BE=DE，EBD是等腰三角形.,ED