高中数学2.4空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式教案新人教B版必修2

2.4.2 空间两点的距离公式示范教案教学分析教材类比平面上两点间距离公式得到空间两点间的距离公式，值得注意的是在教学中，让学生了解空间两点间的距离公式的推导思路即可，不必证明三维目标掌握空间两点的距离公式及其应用，提高学生的类比能力和解决问题的能力重点难点教学重点：空间两点间的距离公式教学难点：空间两点间的距离公式的推导课时安排1课时导入新课设计1.距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离，那么如何计算空间两点之间的距离呢？这就是我们本堂课的主要内容设计2.我们知道，数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d|x1x2|；平面直角坐标系中，两点之间的距离是d.同学们想一想，在空间直角坐标系中，两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式推进新课讨论结果：(1)平面直角坐标系中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|.(2)计算空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离公式是d(A，B)|AB|.特别地，点A(x，y，z)到原点O的距离公式为d(O，A)|OA|.(3)推导空间两点距离公式的思路是：过两点分别作三个坐标面的平行平面(如下图)，则这六个平面围成一个长方体，我们知道，长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和于是，只要写出交一个顶点的三条棱的棱长用坐标计算的表达式，就能导出两点的距离公式你还可以作线段AB在三个坐标平面上的正投影，把空间问题转化为平面问题加以解决(如下图)思路1例1给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为.解：设点P的坐标是(x,0,0)，由题意，|P0P|，即，所以(x4)225.解得x9或x1.所以点P的坐标为(9,0,0)或(1,0,0)点评：本题利用空间两点间距离公式列出了方程，求出了点P的坐标变式训练1在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)，B(1，3,1)的距离相等解：设M(0,0，z)，由题意，得|MA|MB|，整理并化简，得z3，所以M(0,0，3)2ABC的三个顶点坐标为A(1，2，3)，B(1，1，1)，C(0,0，5)，试证明ABC是一直角三角形分析：要判定ABC是一直角三角形，只需求出|AB|，|BC|，|CA|的长，利用勾股定理的逆定理来判定解：因为三个顶点坐标为A(1，2，3)，B(1，1，1)，C(0,0，5)，所以|AB|3，|BC|3，|CA|3.又因为|AB|2|CA|2|BC|2，所以ABC是直角三角形思路2例2已知A(x,5x,2x1)，B(1，x2,2x)，则|AB|的最小值为()A0 B. C. D.分析：要求|AB|的最小值，首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|，然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值解析：|AB|.当x时，|AB|的最小值为.答案：B点评：利用空间两点间的距离公式转化为关于x的二次函数求最值是常用的方法变式训练在xOy平面内的直线xy1上确定一点M，使M到点N(6,5,1)的距离最小解：由已知，可设M(x,1x,0)，则|MN|.所以|MN|min.1已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：(1)线段AB的中点坐标和长度；(2)到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件解：(1)设M(x，y，z)是线段AB的中点，则根据中点坐标公式，得(2，3)根据两点间距离公式，得|AB|，所以AB的长度为.(2)因为点P(x，y，z)到A，B的距离相等，所以有下面等式：.化简，得4x6y8z70，因此，到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是4x6y8z70.2已知正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，平面ABCD和平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0<a<)求MN的长分析：建立适当的空间直角坐标系，利用空间两点间的距离公式求MN的长解：平面ABCD平面ABEF，且平面ABCD平面ABEFAB，ABBE，BE平面ABC.AB，BC，BE两两垂直以B为原点，分别以射线BA，BE，BC为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Bxyz，如下图正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，CMBNa，M(a,0,1a)，N(a，a,0)由空间两点间的距离公式得|MN|.如下图，以正方体的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上(1)点P为对角线的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值；(2)点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究|PQ|的最小值；(3)点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值由以上问题，你得到了什么结论？你能够证明你的结论吗？解：设正方体的棱长为a.(1)当点P为对角线AB的中点时，点P的坐标是(，)因为点Q在线段CD上，设Q(0，a，z)(其中0za)|PQ|.当z时，|PQ|的最小值为a，即点Q在棱CD的中点时，|PQ|有最小值a.(2)因为P在对角线AB上运动，Q是定点，所以当PQAB时|PQ|最短因为当点Q为棱CD的中点时，|AQ|BQ|，QAB是等腰三角形，所以，当P是AB的中点时，|PQ|取得最小值a.(3)当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，|PQ|的最小值仍然是a.证明：如上图，设P(x，y，z1)由正方体的对称性，显然有xy.设P在平面OA上的射影是H.在AOB中，.所以，即有xaz1.所以，点P的坐标是(az1，az1，z1)由已知，可设Q(0，a，z2)，则|PQ|.当z2z1时，|PQ|取得最小值，最小值是a.本节课学习了：空间两点的距离公式及其应用本节练习A2,3题本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手，创设问题情境，不难把平面上的知识推广到空间，利用类比的思想方法，得到空间两点的距离公式本节课以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，提高了能力、培养了兴趣、增强了信心备选习题1已知空间三点的坐标为A(1,5，2)，B(2,4,1)，C(p,3，q2)，若A、B、C三点共线，则p、q的值分别为()A3,2 B2,3 C3,2 D3，2解析：由已知A、B、C三点共线，我们就可以根据它们每两点的斜率相等来求出参数p、q的值即有，从而解得p3，q2.答案：A2已知正方体不在同一侧面上的两顶点A(1,2，1)，B(3，2,3)，则正方体的体积是()A16 B192 C64 D48解析：要求正方体的体积，只要知道它的棱长问题就解决了根据已知A、B为不在同一侧面上的两顶点，我们可以求出该正方体的对角线长为：|AB|4，正方体的棱长为|AB|4.正方体的体积是4364.答案：C5