高考数学复习点拨 高考应用题中的函数方程思想.doc
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高考数学复习点拨 高考应用题中的函数方程思想.doc
高考应用题中的函数方程思想函数与方程的思想在高中数学中无处不在,特别是随着新课程的改革和创新型试题的深入研究,在近几年来的高考应用题中也出现了函数方程思想我们知道解答应用问题的关键是“建模”,所以我们今天要建立的就是函数方程的模型例1 下图为某三岔路口交通环岛的简化模型在某高峰时段,单位时间进出路口A,B,C的机动车辆数如图所示,图中x1,x2,x3分别表示该时段单位时间通过路段CA,AB,BC的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则( )Ax1x2x3Bx1x3x2Cx3x1x2Dx3x2x1分析 本题所给出的条件很少,重要的信息都在图中,所以本题首先考查了“识图”能力,即善于从图形中捕捉信息经过仔细观察,马上可以发现在A,B,C三个路口处可以建立三个方程解 观察路口A,得x15550x2;观察路口B,得x22030x3;观察路口C,得x33530x1即x15x2;x210x3;x35x1于是得x1x2;x3x2;x3x1即x3x1x2故选C点评 想一想,如果把三个方程联立,是否能解出三个未知数呢?答案是否定的,因为表面上的三个方程实质上仅有两个例2 图1图1是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,但调整只能在相邻维修点之间进行,那么要完成上述调整,最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为( )A15B16C17D18分析 本题中四个维修点的数量条件由题目给出,但关联条件仍需从图形中捕捉,即看清谁与谁是“相邻”的:A与B、B与C、C与D、D与A另外,本题中没有给出未知变量,所以能否想到“建立函数方程的模型”来解题较为困难于是产生联想:既然都是关于“流量”的应用题,我们何不自己设出变量从而建立方程呢?解 设从A到B调整的配件数为x1,从B到C为x2,从C到D为x3,从D到A为x4,其中xi(i1,2,3,4)为整数(可正可负,负时表示调整方向正好相反)观察维修点A,得50x4x140;观察维修点B,得50x1x245;观察维修点C,得50x2x354;观察维修点D,得50x3x461即x4x110;x2x15;x3x24;x4x311同样把四个方程联立,解不出四个未知数,因为实质上仅有三个方程那么怎么求调动件次的最小值呢?由求最值容易联想到求函数最值,于是我们再建立一个函数模型所以调动总件次为yx1x2x3x4x1x15x11x110这时看到函数的形式,马上又联想到另一高考题:函数的最小值为( )A190B171C90D45于是解得当1x10时,调动的总件次y最小,且最小值为16故选B点评 事实上,由x1为整数,所以当1x10时,就是x11或0,对应可得x2,x3,x4的值,因此本题一共有两种调动达最少的方案从例2的解答上也说明了这样一点,做做前几年的高考题对于我们参加即将到来的新高考是很有借鉴意义的我们经常不止一次的从前几年的高考题中找到后来高考题的影子,所以好好挖掘宝藏吧用心 爱心 专心