选修42第一节讲课教案
选修4-2 矩阵与变换 第一节 平面上的变换与矩阵,1.线性变换的相关概念 一般地,如果变换T：P(x,y) ,P(x,y)前后坐标之间 的关系具有如下的形式: _,也就是x,y都是x,y的常数项为0的一次函数， 则称变换T为线性变换，写成 的形式.,_,_,2.矩阵的相关概念 (1)由4个数a,b,c,d排成的2行2列的数表_称为2行2列的 矩阵，也称为22矩阵,通常用大写字母A、B、C、表示. (2)矩阵与列向量的乘法： .,(2) =_. 【解析】 答案：,(3)已知 ，则 =_. 【解析】由条件得 ,解得 , 从而 答案：,3.逆变换与可逆变换 (1)逆变换 若T：P T(P),则M：_. 若M:Q M(Q),则T：_. 则称M为T的逆变换，记作：M=_. 同样T也是M的逆变换，记作：T=M-1. 因此(T-1)-1=_，(M-1)-1=_.,T(P) P,M(Q) Q,T-1,T,M,(2)可逆变换 若变换T满足平面上不同的点被变换T变到_；变 换T将平面变到_，即平面上每一个点Q都是平面上某 一点P的_，则称变换T为可逆变换，可逆变换一定有逆 变换.,不同的点,整个平面,像T(P),【即时应用】 若变换T是将平面内的点逆时针旋转 ，则变换T-1对应的矩 阵为_. 【解析】由题意 答案：,4.常见变换对应的矩阵 (1)旋转变换 绕原点O按逆时针方向旋转角： (2)伸缩变换：在直角坐标系xOy内，将每个点的纵坐标变为 原来的k(k0)倍的伸缩变换的矩阵为 将每个点的 横坐标变为原来的k(k0)倍的伸缩变换的矩阵为 将 每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为原来的k2倍(k1,k2 0)的伸缩变换的矩阵为,(3)反射变换 关于直线Ax+By=0的反射的矩阵 (4)位似变换 位似中心为O，相似比为k，使 的矩阵为 (5)投影变换 平面到直线l：Ax+By=0的投影变换的矩阵,【即时应用】 (1)在平面直角坐标系xOy内，将每个点的横坐标变为原来的2 倍，将每个点的纵坐标变为原来的 倍，该变换对应的矩阵为_. (2)关于直线x-2y=0的反射变换的矩阵为_. (3)函数y= 在旋转变换 作用下得到的新曲线的 方程为_.,【解析】(1)由伸缩变换方法易得所求矩阵为 (2)A=1，B=-2，,(3)设新曲线上任意点(x,y), 由 得 ,从而 代入y= 得y2-x2=2,即新曲线的方程为y2-x2=2.,答案：(1) (2) (3)y2-x2=2,热点考向 1 线性变换与矩阵 【方法点睛】 线性变换及其矩阵 平面内的线性变换都对应着相应的二阶矩阵，而任何一个二阶矩阵都对应着相应的线性变换，关键是要熟悉常见的线性变换的二阶矩阵，在此基础上才能灵活运用.,【例1】写出关于直线 的反射的矩阵. 【解题指南】代入反射变换的矩阵公式，通过计算求矩阵. 【规范解答】关于直线Ax+By=0的反射的矩阵为 将直线方程变为x-3y=0， A=1，B=-3，,关于直线 的反射的矩阵为,【互动探究】试写出平面到直线 的投影变换的矩阵. 【解析】平面到直线Ax+By=0的投影变换的矩阵为 将直线方程化为x-3y=0，A=1，B=-3, 平面到直线 的投影变换的矩阵为,【反思感悟】1.根据本题可知，求线性变换的矩阵关键是公式的应用. 2.在应用公式求线性变换的矩阵时，特别注意矩阵元素的结构，不要代错.,热点考向 2 22矩阵与列向量的乘法及其应用 【方法点睛】 22矩阵与列向量的乘法应用的方法 设22矩阵A ，点P(x，y)经22矩阵A对应的变换作 用下得到点P(x，y)，三者满足的关系式： 常见的问题设置是知道三者中的两个求第三个，解题的方法从 根本上讲是一样的，即列方程组求解.,【例2】(2012泉州模拟)二阶矩阵A对应的变换将点(1，-1)与(-2，1)分别变换成点(-1，-1)与(0，-2)，求矩阵A. 【解题指南】求矩阵A一般可用待定系数法，设出矩阵A后,利用矩阵与向量的乘法列方程组求解. 【规范解答】设A= 由题意A 即,解得,【反思感悟】设矩阵A ，点P(x，y)经矩阵A对应的变 换作用下得到点P(x，y)，三者满足的关系式： 常见的问题设置是知道三者中的两个求第三个，解题的方法从根本上讲是一样的，即列方程组求解.,【变式训练】向量a在矩阵A= 的作用下变为与向量 平行的向量且向量的模为1，求a. 【解析】设a= ,则由条件得 解得sin=cos,从而所求向量为a= 或a=,【变式备选】已知 设=a+b，=a-b，求A,A. 【解析】由条件得 从而,热点考向 3 线性变换与曲线方程 【方法点睛】 线性变换与曲线方程问题的解题方法 曲线C在矩阵A变换后得到曲线C.这一变换过程通过公式 (*)确定，常见的设问及其解决方法有： (1)若已知曲线C的方程，矩阵A，求曲线C的方程，则通过公 式(*)表示出x，y，代入曲线C的方程即得曲线C的方程.,(2)若已知曲线C的方程，矩阵A，求曲线C的方程，则由公式 (*)直接将x，y代入曲线C的方程后即得曲线C的方程. (3)若已知曲线C，C的方程，求矩阵A，则先设出矩阵A，再在 曲线C上任取一点(x,y)，通过公式(*)代入曲线C的方程后得 曲线C的另一形式的方程，再与曲线C的方程比较系数，利用系 数相等列方程组求矩阵A.,【例3】(2011福建高考)设矩阵M= (其中a0，b0). 若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线 C： ，求a，b的值. 【解题指南】本题变换矩阵符合伸缩变换的特征，求解的关键 是准确把握变换前后点的坐标间的关系，运用待定系数法列出 方程组，即可获解.,【规范解答】设曲线C上任意一点P(x,y)，它在矩阵M所对应的 线性变换作用下得到点P(x,y). 则 即 又点P(x,y)在曲线C上，所以 则 为曲线C的方程. 又已知曲线C的方程为x2+y2=1，故 ，又a0,b0，所以,【互动探究】在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在本例 中矩阵M对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程. 【解析】由本例解析知M= 设P(x0,y0)是椭圆上任意一点，点P(x0,y0)在矩阵对应的变换作 用下变为点P(x0,y0),则有 即 ，所以 又因为点P在椭圆上，故 ，从而(x0)2+(y0)2=1, 所以，曲线F的方程是x2+y2=1.,【反思感悟】本题是已知变换之前和变换之后的曲线方程，求变换矩阵的问题求解的方法是设出变换之前和变换之后的坐标，利用矩阵乘法建立关系，再利用变换前后的曲线方程建立方程组.,【变式备选】已知二阶矩阵M 矩阵M对应的变换将点 (2,1)变换成点(4，1).求矩阵M将圆x2y21变换后的曲线 方程. 【解析】由已知得 即 解得 设点P(x，y)是圆x2y21上的任意一点，变换 后的点为P(x，y)，则 所以,从而 则变换后的曲线方程为(x2y)2(xy)29，化简得2x22xy5y29. 即变换后的曲线方程为2x2-2xy+5y2=9.,
