高考数学数学思想的应用情形归纳第01讲转化化归思想情形之01-04

第01讲：转化化归思想情形之1-4【知识要点】 一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.二、在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解比较困难，通过观察、分析等思维过程,需将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的.这一思想方法我们称之为“转化化归思想”.转化化归思想就是化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为已知.转化化归思想的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.三、转化化归要遵循的几个基本原则有：目标简单化原则、和谐统一性原则、熟悉化原则、直观化原则.四、本讲讲了转化化归思想情形之1-4, 情形1：正难则反的转化化归；情形2：数形结合的转化化归；情形3：换元建新的转化化归；情形4：主元次元的转化化归 .【方法讲评】转化化归情形一正难则反的转化化归一个数学问题从正面考虑比较复杂，可以先考虑问题的反面，求出反面问题的答案，再根据正面反面问题的关系得到原数学问题的答案.【例1】已知设命题:；命题 ：函数有两个不同的零点. 求使命题“ 或”为真命题的实数的取值范围.所以可以考虑.所以 ，所以.所以实数的取值范围是.【点评】（1）本题从正面考虑，命题“ 或”为真命题有三种情况（），所以从正面考虑，要分三种情况考虑，情况比较复杂，但是它的反面只有一种情况，就是，所以此时我们可以转化为考虑它的反面,求出实数的取值范围，由于正面和反面的情况下，实数的取值范围的并集是，所以我们求出反面情况下的取值范围后，只要再求这个范围在R中的补集即可.（2）在学习数学的过程中或实际生活中，当我们遇到正面考虑比较复杂的问题时 ，我们可以考虑它的反面.假设正面解答问题的结果为集合,反面解答问题的结果为集合,则.我们先考虑它的反面得到集合，再根据集合的关系得到问题的结果为.在有的资料上这种方法称为“补集法”.【反馈检测1】已知集合，若，求的取值范围【例2】若下列三个方程：中至少有一个方程有实根，试求实数的取值范围.【解析】三个方程中至少有一个方程有实根的反面时三个方程都没有实数根.于是三个方程至少有一个方程有实根的实数的取值范围为【点评】（1）本题的正面有七种情形需要考虑，而其反面只有一种，即“三个方程均无实根”。故先考虑其反面是捷径.从此题我们可以看到转化化归思想的优越性.（2）一般情况下，“至少”“至多”的命题，如果正面情况分类比较繁琐，可以从反面考虑，优化解题，提高解题效率.【反馈检测2】已知，求证：，中至少有一个小于等于.转化化归情形二数形结合的转化化归一个数学问题，如果从“数”的角度突破比较复杂或困难，可以把“数”转化为对应的“形”，以形助数，提高解题效率；一个数学问题，如果从“形”的角度突破比较复杂或困难，可以把“形”转化为对应的“数”，以数解形，提高解题效率.【例3】函数 （1）当时，若函数与的图象有且只有3个不同的交点，求实数的值的取值范围；（2）讨论的单调性【解析】（1）当时，由题得，（2）由于，当时，恒成立，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减【点评】（1）直接研究函数与的图象的交点比较困难，所以本题先利用两函数图像交点的个数等价于两方程组解的个数，得到方程组，通过消元得到方程，再构造新函数利用数形结合来解答，直观又简洁，大大地提高了解题效率. (2)本题主要是典型的“以形助数”，把“数”等价地转化为“形”，再数形结合分析解答.【反馈检测3】已知函数，其中为实数，常数.(1) 若是函数的一个极值点，求的值；(2) 当时，求函数的单调区间；(3) 当取正实数时，若存在实数，使得关于的方程有三个实数根，求的取值范围.【例4】已知函数（1）求函数在上的最大值与最小值；（2）若时，函数的图像恒在直线上方，求实数的取值范围；（3）证明：当时，【解析】（1）定义域为，且， 当时，当时， 在为为减函数；在上为增函数， （2）当时，函数的图像恒在直线的上方，等价于时不等式恒成立，即恒成立， 令，则，当时，故在【点评】（1）函数的图像恒在直线上方，这是函数“形”方面的特征，等价转化为“数”的特征，即时不等式恒成立，即恒成立， 即.(2)本题第（2）问就是典型的“以数解形”，再分离参数化为函数的最值，提高了解题效率. 【反馈检测4】已知，直线（1）函数在处的切线与直线平行，求实数的值 （2）若至少存在一个使成立，求实数的取值范围（3）设，当时的图像恒在直线的上方，求的最大值.转化化归情形三换元建新的转化化归有时，我们遇到比较复杂的问题，可以通过换元，把无理式变成有理式，可以把高次降幂成低次，可以变多元为少元，可以把复杂的函数、方程、不等式等转化为易于解答的常见问题.【例5】求函数的值域.时,故所求函数的值域为.【点评】（1）由于，所以当已知中同时有或者同时有时，可以考虑换元，化成一个二次函数.（2）换元时注意利用三角函数的知识求准新元的范围.（3）本题显示出换元建立新函数转化化归的好处，本来一个函数有两个变量，不好处理，但是通过换元，变成了一个我们熟悉的一元二次函数，大大地提高了解题效率.【例6】若求函数的值域.【解析】由题得 设函数的对称轴方程为 所以， ，所以函数的值域为.【点评】（1）本题看起来形式比较复杂，仔细观察后，它们可以化为含有的函数，但是，这个函数研究起来不是很方便，但是通过观察换元后，得到了一个关于的新的一元二次函数，二次函数的问题我们解答起来就容易多了.（2）本题就是换元建新转化化归的典型题目，换元时，一定要注意等价性，注意新元的范围.【反馈检测5】已知满足不等式.（1）求的取值范围；（2）求函数的最小值.【例7】已知函数.(1)求的单调区间；(2)若函数， 是函数的两个零点， 是函数的导函数，证明： .综上：当时， 的单调增区间为，单调减区间为当时， 的单调增区间为 （2）由是函数的两个零点有，相减得 又 所以要证明，只需证明 【点评】（1）本题第2小问分析出后，证明还是很不方便，又进行了变形，转化成即证明， 这时，进行换元得到，这样一个双变量的函数通过换元一下子变成了一个新的单元函数，后面的证明就是水到渠成了.这里的换元很关键，是突破此题的关键. （2）本题是换元建新转化化归的典型例题. 换元无处不在，遇到难题时，我们要多观察，多分析时间长了，能力自然就上来了.【反馈检测6】已知函数（1）若，证明；（2）若，求的取值范围；并证明此时的极值存在且与无关.转化化归情形四主元次元的转化化归有时我们遇到多个变量的问题，有的是主元，有的是次元，但是主次是相对的，可以转化的.有时解题比较复杂困难时，如果变换主元次元，可以大大地优化解题.【例8】已知函数若不等式对所有，都成立，求实数的取值范围【解析】则对所有的，都成立，令，是关于的一次函数，所以所以 综合得.【点评】（1）对于不等式，由于，有正有负，不便分离次参，所以我们要寻找其它方法突破，在这里，我们构造一次函数反客为主就是一种方法，本身来说，是主元，是次元，但是我们可以把看成自变量，因为已知中有的范围，把看成主元，把看作参数，看做次元，利用一次函数的性质分析解答.这样避免了分类讨论，提高了解题效率.(2)本题是主元次元转化化归的典型例题，要理解其精髓.(3)对于“分离次参”的题目，有时也可以尝试主元次元转化化归的方法来解答.在有的资料上称为“反客为主”.【反馈检测7】已知函数，.（）讨论的单调性；（）对于任意，任意，总有，求的取值范围. 转化化归思想在高中数学中的应用情形归纳 第01讲：转化化归思想情形之1-4参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测1详细解析】，且，故方程至少存在一个负根时，即时，则的取值范围为【反馈检测2答案】见解析.【反馈检测2详细解析】假设 则有 又与矛盾所以假设不成立，原命题成立.【反馈检测3答案】（1）；（2）的单调增区间是，；的单调减区间是，；（3）的取值范围是.【反馈检测3详细解析】(1) 因为是函数的一个极值点，所以，即. 而当时，可验证：是函数的一个极值点.因此. (2) 当时，令得，解得，而.所以当变化时，、的变化是极小值极大值因此的单调增区间是，；的单调减区间是，； 但是函数值恒大于零，极大值，极小值，并且根据指数函数和二次函数的变化速度可知当时，当时，.因此当时，关于的方程一定总有三个实数根，结论成立.【反馈检测4答案】（1）；（2）；（3）5.【反馈检测4详细解析】（1），由于在处的切线与直线平行，解得（2）由于至少存在一个使成立，成立至少存在一个整理得成立至少存在一个，令，当时，恒成立，因此在单调递增，当时， 当时即，当时即，所以在上单调递减，在上单调递增故又，所以的最大值为5.【反馈检测5答案】（1）；（2）2.【反馈检测5详细解析】（1）.【反馈检测6答案】（1）见解析（2）见解析.【反馈检测6详细解析】（1）若当单调递减；当单调递增所以，得证（1）若，变形得到，令，得到，所以在单减，在单增，所以，即在单增，当所以，下面再证明的极值存在且与无关：, 与无关.（其中）所以且在处取极小值因为，是关于的函数（与无关），所以也是关于的函数（与无关）.【反馈检测7答案】（）当时，递减区间为，不存在增区间；当时，递减区间为，递增区间；（）.【反馈检测7详细解析】（）则若对任意，恒成立，即令，则设，则在递减，即在递减即的取值范围为17