黑龙江省海林市高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值导学案新人教A版选修1-1

3.3.2 函数的极值与最值【课标学习目标】1了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用2掌握函数极值的判定及求法3掌握函数在某一点取得极值的条件4增强数形结合的思维意识，提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力目标解读1重点是函数极值的判定与求法2难点是函数极值的综合应用【情境引入】“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点那么，在数学上，这种现象如何来刻画呢？【课前预习】1设函数f(x)在点a，b及其附近有定义，如果，函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)_；而且在点xa附近的左侧f(x)_，右侧f(x)_类似地，函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)_；而且在点xb附近的左侧f(x)_，右侧f(x)_我们把点a叫做函数yf(x)的_，f(a)叫做函数yf(x)的_；点b叫做函数yf(x)的_，f(b)叫做函数yf(x)的_极小值点、极大值点统称为_，极小值和极大值统称为_2求函数yf(x)的极值的方法是：(1)解方程_(2)当f(x0)0时：如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么f(x0)是极小值3一般地，求函数yf(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：(1)_；(2)_【题型探究】【例1】求下列函数的极值：(1)f(x)x312x； (2)f(x)2.【分析】按照求极值的基本方法，首先从方程f(x)0入手，求出在函数f(x)的定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值【解析】(1)函数f(x)的定义域为R，f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)变化状态如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x) 极大值f(2)16极小值f(2)16 从表中可以看出，当x2时，函数有极大值，且f(2)(2)312(2)16.当x2时，函数有极小值，且f(2)2312216.(2)函数的定义域为R.f(x).令f(x)0，得x1或x1.由上表可以看出，当x1时，函数有极小值，且f(1)23，当x1时，函数有极大值，且f(1)21.【评析】理解极值的定义是正确解决本题的关键点应明确f(x0)0只是函数f(x)在xx0处取得极值的必要条件，必须加上该点左右两侧导数符号相反，方能判定在x0处取得极值【例2】设函数f(x)2x33(a1)x26ax8，其中aR.(1)若f(x)在x3处取得极值，求常数a的值；(2)若f(x)在(，0)上为增函数，求a的取值范围【分析】由f(3)0得关于a的方程求出a的值，但需要检验；(2)先求f(x)的增区间与(，0)进行分析讨论得出a的取值范围【解析】(1)f(x)6x26(a1)x6a6(xa)(x1)因为f(x)在x3处取得极值，所以f(3)6(3a)(31)0，解得a3.经检验知当a3时，x3为f(x)的极值点(2)令f(x)6(xa)(x1)0，得x1a，x21.当a<1时，若x(，a)(1，)，则f(x)>0，所以f(x)在(，a)和(1，)上为增函数故当0a<1时，f(x)在(，0)上为增函数当a1时，若x(，1)(a，)，则f(x)>0，所以f(x)在(，1)和(a，)上为增函数，从而f (x)在(，0)上也为增函数综上所述，当a0，)时，f(x)在(，0)上为增函数【评析】本题的第(1)问直接求f(x)，令f(x)0，可求解第(2)问利用分类讨论，将a与1比较作为分类的标准，判断在(，0)上，f(x)>0是否成立，从而确定a的取值范围，本题主要考查二次函数的极值问题和利用导数来求函数的单调性【例3】已知aR，讨论函数f(x)ex(x2axa1)的极值点的个数【分析】本题是一道函数与导数综合运用问题，首先导数的运算需过关，另外讨论时分类的标准是关键【解析】f(x)exx2(a2)x(2a1)，令f(x)0，得x2(a2)x(2a1)0.(1)当a24a>0，即a<0或a>4时，方程有两个不同的实根x1，x2，不妨设x1<x2，于是f(x)ex(xx1)(xx2)，从而有下表：即此时f(x)有两个极值点(2)当0，即a0或a4时，方程有两个相同实根x1x2，于是f(x)ex(xx1)2.故当x>x1时，f(x)>0；当x<x1时，f(x)>0，f(x)在R上为增函数，此时f(x)无极值(3)当<0时，即0<a<4时，方程无实根，f(x)>0恒成立，所以f(x)在R上是增函数，此时f(x)无极值综上，a>4或a<0时，f(x)有2个极值点0a4时，f(x)无极值点【评析】本题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值，解不等式，恒成立等基本知识，考查综合分析问题和解决问题的能力，及推理能力以及分类讨论的数学思想【例4】求下列函数的最值：(1)f(x)sin2xx； (2)f(x)ln(1x)x2，x0,2【分析】函数f(x)在给定区间上连续可导，必有最大值和最小值，在求a，b上的最值时，只需求出f(x)在(a，b)内的极值，然后与端点处函数值进行比较即可【解析】(1)f(x)2cos2x1，令f(x)0，得cos2x.又x，2x，2x，x.函数f(x)在上的两个极值分别为f ，f .又f(x)在区间端点的取值为f ，f .比较以上函数值可得f(x)max，f(x)min.(2)f(x)x，令x0，化简为x2x20，解得x12(舍去)，x21.当0x<1时，f(x)>0，f(x)单调递增；当1<x2时，f(x)<0，f(x)单调递减所以f(1)ln2为函数f(x)的极大值又f(0)0，f(2)ln31>0，f(1)>f(2)所以f(0)0为函数f(x)ln(1x)x2在0,2上的最小值，f(1)ln2为函数在0,2上的最大值【评析】不论求函数的极值，还是最值，都要先看清定义域，当定义域没有给出时，首先求定义域【课堂小结】根据可导函数极值的定义，要弄清以下几点：1极大(小)值未必是最大(小)值，可以有多个数值不同的极大(小)值；2极大(小)值是局部充分小的领域内的最大(小)值；3极大(小)值只能在区间的内点取得，常数函数没有极大值，也没有极小值；4f(x0)0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，不是充分条件【当堂检测】1已知函数y|x23x2|，则()Ay有极小值但无极大值By有极小值0，但无极大值Cy有极小值0，极大值Dy有极大值，但无极小值解析作出函数图象可知y有极小值0，极大值.故应选C.2函数yx36xa的极大值为_，极小值为_解析y3x260，得x，当x或x时，y0；当x时，y0.函数在x时取得极大值a4；在x时取得极小值a4.6