【创新设计】2014届高考数学一轮总复习 第九篇 第6讲 抛物线 理 湘教版.doc
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【创新设计】2014届高考数学一轮总复习 第九篇 第6讲 抛物线 理 湘教版.doc
第6讲 抛物线A级基础演练(时间:30分钟满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1(2011辽宁)已知F是抛物线y2x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|BF|3,则线段AB的中点到y轴的距离为 ()A. B1 C. D.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义,知|AF|BF|x1x23,p,x1x2,线段AB的中点的横坐标为.答案C2(2013东北三校联考)若抛物线y22px(p>0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,则p的值为 ()A2 B18 C2或18 D4或16解析设P(x0,y0),则362p,即p220p360,解得p2或18.答案C3(2011全国)已知抛物线C:y24x的焦点为F,直线y2x4与C交于A,B两点,则cosAFB()A. B. C D解析由得x25x40,x1或x4.不妨设A(4,4),B(1,2),则|5,|2,(3,4)(0,2)8,cosAFB.故选D.答案D4(2012山东)已知双曲线C1:1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x22py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析1的离心率为2,2,即4,.x22py的焦点坐标为,1的渐近线方程为yx,即yx.由题意,得2,p8.故C2:x216y,选D.答案D二、填空题(每小题5分,共10分)5(2013巫溪模拟)设斜率为1的直线l过抛物线y2ax(a>0)的焦点F,且和y轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为8,则a的值为_解析依题意,有F,直线l为yx,所以A,OAF的面积为8.解得a16,依题意,只能取a16.答案166(2012陕西)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米水位下降1米后,水面宽_米解析如图建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x22py.由题意A(2,2)代入x22py,得p1,故x22y.设B(x,3),代入x22y中,得x,故水面宽为2米答案2三、解答题(共25分)7(12分)已知抛物线C:y22px(p0)过点A(1,2)(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由解(1)将(1,2)代入y22px,得(2)22p1,所以p2.故所求的抛物线C的方程为y24x,其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y2xt,由得y22y2t0.因为直线l与抛物线C有公共点,所以48t0,解得t.另一方面,由直线OA与l的距离d,可得,解得t1.因为1,1,所以符合题意的直线l存在,其方程为2xy10.8(13分)(2012温州十校联考)已知椭圆1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线yx2相切(1)求a与b;(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,直线l1过F2且与x轴垂直,动直线l2与y轴垂直,l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程,并指明曲线类型解(1)由e ,得.又由原点到直线yx2的距离等于椭圆短半轴的长,得b,则a.(2)法一由c1,得F1(1,0),F2(1,0)设M(x,y),则P(1,y)由|MF1|MP|,得(x1)2y2(x1)2,即y24x,所以所求的M的轨迹方程为y24x,该曲线为抛物线法二因为点M在线段PF1的垂直平分线上,所以|MF1|MP|,即M到F1的距离等于M到l1的距离此轨迹是以F1(1,0)为焦点,l1:x1为准线的抛物线,轨迹方程为y24x.8B级能力突破(时间:30分钟满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1设F为抛物线y24x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若0,则| ()A9 B6 C4 D3解析设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由于抛物线y24x的焦点F的坐标为(1,0),由0,可得x1x2x33,又由抛物线的定义可得|x1x2x336.答案B2(2013洛阳统考)已知P是抛物线y24x上一动点,则点P到直线l:2xy30和y轴的距离之和的最小值是()A. B. C2 D.1解析由题意知,抛物线的焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d|PF|的最小值为,所以d|PF|1的最小值为1.答案D二、填空题(每小题5分,共10分)3(2012北京)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y24x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方若直线l的倾斜角为60,则OAF的面积为_解析直线l的方程为y(x1),即xy1,代入抛物线方程得y2y40,解得yA2(yB<0,舍去),故OAF的面积为12.答案4(2012重庆)过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|,|AF|<|BF|,则|AF|_.解析设过抛物线焦点的直线为yk,联立得,整理得,k2x2(k22)xk20,x1x2,x1x2.|AB|x1x211,得,k224,代入k2x2(k22)xk20得,12x213x30,解之得x1,x2,又|AF|<|BF|,故|AF|x1.答案三、解答题(共25分5(12分) (2013巫山质量评估)已知抛物线C:y24x,过点A(1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点,设.(1)若点P关于x轴的对称点为M,求证:直线MQ经过抛物线C的焦点F;(2)若,求|PQ|的最大值思维启迪:(1)可利用向量共线证明直线MQ过F;(2)建立|PQ|和的关系,然后求最值(1)证明设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x1,y1),x11(x21),y1y2,y2y,y4x1,y4x2,x12x2,2x21(x21),x2(1)1,1,x2,x1,又F(1,0),(1x1,y1)(1,y2),直线MQ经过抛物线C的焦点F.(2)由(1)知x2,x1,得x1x21,yy16x1x216,y1y2>0,y1y24,则|PQ|2(x1x2)2(y1y2)2xxyy2(x1x2y1y2)2412216,当,即时,|PQ|2有最大值,|PQ|的最大值为.探究提高圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种:一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;二是代数法,常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值6(13分)(2012新课标全国)设抛物线C:x22py(p0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点(1)若BFD90,ABD的面积为4 ,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值解(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形,|BD|2p,圆F的半径|FA|p.由抛物线定义可知A到l的距离d|FA| p.因为ABD的面积为4 ,所以|BD|d4 ,即2p p4 ,解得p2(舍去)或p2.所以F(0,1),圆F的方程为x2(y1)28.(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,ADB90.由抛物线定义知|AD|FA|AB|.所以ABD30,m的斜率为或.当m的斜率为时,由已知可设n:yxb,代入x22py得x2px2pb0.由于n与C只有一个公共点,故p28pb0,解得b.因为m的纵截距b1,3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.综上,坐标原点到m,n距离的比值为3.