高中数学《函数的奇偶性》
1.3.2函数的奇偶性,1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) ,并画出它的图象。,解:,f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4,f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1,f(-x)=(-x)2=x2,f(-2)=f(2) f(-1)=f(1) f(-x)=f(x),-x,x,f(-x),f(x),1.偶函数的概念:,偶函数定义: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.,2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及f(-x),解:,f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8,f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1,f(-x)=(-x)3=-x3,f(-2)= - f(2) f(-1)= - f(1) f(-x)= - f(x),-x,f(-x),x,f(x),1.奇函数的概念:,奇函数定义: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) , 那么函数f(x)就叫奇函数.,奇函数、偶函数定义的说明:,(1).函数具有奇偶性的前提：定义域关于原点对称 。,（2）.奇、偶函数定义的逆命题也成立，即： 若f(x)为奇函数, 则f(-x)=f(x)成立。 若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。,（3） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性。,练习1. 说出下列函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,奇函数,奇函数,f(x)=x4 _ f(x)= x -1 _, f(x)=x _,奇函数,f(x)=x -2 _,偶函数, f(x)=x5 _,f(x)=x -3 _,说明：对于形如 f(x)=x n 的函数， 若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数。,例1. 判断下列函数的奇偶性,(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2,解:,f(-x)=(-x)3+2(-x),= -x3-2x,= -(x3+2x),即 f(-x)= - f(x),f(x)为奇函数,f(-x)=2(-x)4+3(-x)2,=2x4+3x2,f(x)为偶函数,定义域为R,解:,定义域为R,即 f(-x)= f(x),先求定义域，看是否关于原点对称; 再判断f(x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否恒成立。,用定义判断函数奇偶性的步骤:,练习2. 判断下列函数的奇偶性,(2) f(x)= - x2 +1,f(x)为奇函数,f(-x)= -(-x)2+1 = - x2+1,f(x)为偶函数,解：定义域为x|x0,解：定义域为R,即 f(-x)= - f(x),即 f(-x)= f(x),(3). f(x)=5 (4) f(x)=0,解: (3) f(x)的定义域为R f(-x)=f(x)=5 f(x)为偶函数,解: (4)定义域为R f(-x)=f(x)=0 又 f(-x)=-f(x)=0 f(x)为既奇又偶函数,说明: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。,(5). f(x)=x+1 (6). f(x)=x2 x- 1 , 3,解: (5) f(-x)= -x+1 - f(x)= -x-1 f(-x)f(x) 且f(-x) f(x) f(x)为非奇非偶函数,解: （6）定义域不关于原点 对 称 f(x)为非奇非偶函数,奇函数 说明：根据奇偶性, 偶函数 函数可划分为四类: 既奇又偶函数 非奇非偶函数,偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.,奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数.,o,y,x,例3 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。,例2.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.,y,x,y,x,y,x,用定义法判断函数奇偶性解题步骤:,(1)先确定函数定义域,并判断 定义域是否关于原点对称;,(2)求f(-x)，找 f(x)与f(-x)的关系; 若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数; 若f(-x)= - f(x),则f(x)是奇函数.,(3)作出结论. f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函数或即是奇函数又是偶函数。,2.奇偶函数图象的性质:, 奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数为奇函数., 偶函数的图象关于y轴对称.,反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数.,注：奇、偶函数图象的性质可用于： .简化函数图象的画法。 .判断函数的奇偶性。,课堂小结,1奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内， 若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数； 若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。 2图象性质: 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称. 3判断奇偶性方法：图象法，定义法。 4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提,奇偶函数定义,图像性质,定义域对称,图像法、定义法,作业： 课本 P39 A T6 B T3,
