历史各朝代律法思维导图（精品考研资料）
张宇基础精讲视频配套讲义（高等数学）张宇基础精讲视频配套讲义（高等数学） 说明 1.该讲义基本涵盖张宇基础精讲视频课程中所出现的考 点和例题，但非老师的逐字稿，其他需要补充的地方，请 同学们跟随张宇老师视频课程学习时，同步自行记笔记！ 2.讲义中例题序号不连续属于正常现象，是按照张宇老 师的手写序号安排的，并非缺题。 3.张宇老师并非每一讲都留作业，具体作业安排观看视 频即可，若视频结尾没留作业就是该讲没有作业。 4.张宇老师未涉及的知识点请看第二轮大纲全考点课程 （2020 基础课程） 。 第一讲 极限 综述 （1） 函数极限：定义与使用、计算、存在性（夹逼准则、单调有界） （2） 数列极限：定义与使用、存在性与计算 一、函数极限的定义及其使用 lim( ) x f xA 0 ，x，有( )f xA. （1）A唯一：左极限，右极限；左导数，右导数 【例】求 2 0 tan lim 1 x x x x （2）A是一个数，记lim( ) x f xA . 【例】已知lim( ) x f x 存在， 21 3 1 arctan11 ( )2lim( ) 1 x x xx f xx ef x x （3）x；( )f xM（有界性） 【例】若 0 0 ( ) lim xx f x A xx （存在） ，求 0 lim( ) xx f x （4）x，若 0 lim( )0 xx f xA ，有( )0f x ；若lim( )0 x f xA ，有 ( )0f x （局部保号性） 【例】证明：当 + 0 x 时， 24 0tan xxx成立 （5）( )=Alim =0 x f x ，（等式脱帽法） 【例】设 0 ln 1 sin lim,0,1. 1 x x f x x A aa a 求 2 0 lim x f x x 二、函数极限的计算 1、 七种未定式（ 00 0 ,0,0 ,1 0 ，） 化简先行 （1） 等价无穷小替换（ 0x ） sintanarcsinarctanxxxxxxxx， 2 ln(1) 11ln0 1 11,1 cos 2 xx xxexaxa a xxxx ， 【补】若 =,lim=0+ x o 即，则 恒等变形： 提取公因式 换元 通分 lnvvu ue 用公式：因式分解： 122nnnnn abaabbbaba 有理化： ab ab ab （2） 洛必达法则 ( )( ) limlim g( )g( ) xx f xfx xx ( ) ( ) limlim g( ) g( ) x a x xaxa a f t dt f x x t dt ( ) ( )( ) limlim g g( ) x a x xaxa a f t dt fxx xx t dt 【注】1. 0 0 型 2.可导 3.结果只能为0,0,c 【例】求下列极限 1 0 23 3+2tan x3 lim 1 3sincos x x x xx x 2. 00 2 0 sin2t lim 41 1 x x x dt ttdt 3. +3 3 cos ln3 lim ln x x xx ee 4. 0 1+1 lim 1 x x x ex 5. 2 1 lim1 x x x e x 6. + ln1 ln ln1 0 lim x x x x 7. + 1 1 cos 0 sin lim x x x x （3）泰勒公式 ( ) 2 00 00000 ()() ( )()()()()()( ) 2! n n n fxfx f xf xfxxxxxxxR x n 其中 (1) 1 0 ( ) ( )() (1)! n n n f R xxx n 在 0 x与x之间. 1）熟记公式： 2 0 11 1 (,) 2! xn n exxxx n 21 35 0 11 sin( 1) (,) 3!5!(21)! n n n x xxxxx n 2 24 0 11 cos1( 1) (,) 2!4!(2 )! n n n x xxxx n （2019） 0 ( 1)= (2 )! n n n x n 0 x 231 0 111 ln(1)( 1) ( 1,1 231 nn n xxxxxx n 2 1 (1)(1)(1) (1)11 ( 1,1) 2! n n k xxxxx n 33 33 33 33 1 tan+o 3 1 arctan+o 3 ,0 1 arcsin+o 6 1 sin+o 6 xxxx xxxx x xxxx xxxx 23 0 1 1 ( 1,1) 1 n n xxxxx x 2）展开原则 A B 型：上下同阶 即，若分母（分子）是 k x，则分子（分母）展开至 k x AB型：幂次最低 即将, A B分别展开至数不相等的x的最低次幂为止。 如 3 0 arctan lim x xx x 如 2 2 cosx,0 x b eaxx，a 则 ,b 【例】1. 2 22 02 2 1 1+1 2 lim cossin 2 xx xx x xe 2. 666565 lim x xxxx 【例1】 当0 x 时，下列（）与x同阶 A. 11x B. ln 1xx C. cos sinx1 D. 1 x x 【例2】 当0 x 时，比较， ，的阶 2 2 0 0 3 0 =cos =tan =sin x x x t dt tdt t dt 【例 3】 三、函数极限的存在性 1、 具体型，但洛必达失效，则夹逼准则 【例】记 0 S=sin x xt dt （1）证明：当 12S21nxnnxn时， （2）求 0 + sin lim x x t dt x 2.抽象型：单调有界准则 【例】设0 x， fx满足 22 1 =fx xfx ， 01f. 证明： （1） 2 1 ,0 1+ fxx x （2） + lim x f x 存在且其值小于1+ 2 四、函数极限的应用连续与间断 1.由于“一切初等函数在其定义区间内必连续” ，故只研究两类特殊的点： 无意义的点（间断） 分段函数的分段点（不一定） 2.连续 1）内点处：若 +- 00 0 lim( )lim( )= () xxxx f xf xf x ,称)(xf在 0 x处连续. 2）端点处：lim( )(a) xa f xf ,左端点右连续. lim( )(b) xb f xf ,右端点左连续. 3.间断（前提：)(xf在 0 x左右两侧均有定义） 1）、均存在，但跳跃间断点 0 x 2）、均存在，=，但 0 x可去间断点 1） 、2）统称为第一类间断点 3）、至少一个不存在且不存在= 0 x无穷间断点 4）、至少一个不存在且不存在=振荡不存在 0 x振荡间断点 【例】当 1 ,1 2 x 时，确定 2 tan 1 x x x 的间断点并判定其类型 五、数列极限定义及使用 lim n n xa 0 ，整数0N ，当nN时，有 n xa （1）a唯一 （2）a是一个数 （3） n x有界 （4）0a 有,0 n nx （5）所有子列 k n x均收敛于a 【例1】 设 n a满足 1 lim( )1 n n n a f x a ，则（） A. n a有界 B. n a不存在极限 C. n a自某项起同号 D. n a自某项起单调 【例2】 已知 n a单调，下列正确的是（） A. lim1 n a n e 存在 B. 2 1 lim 1+ n n a 存在 C. limsin n n a 存在 D. 2 1 lim 1 n n a 存在 六、数列极限的存在性与计算 1. 归结原则 若lim( ) x f xA ，则lim(n) n fA 【例】 3 112 limsinsin 2 n n nn 2. 直接计算法 【例】设 2 11 3,1,2,. nnn aaaa n ，求 12 111 lim. 1+1+1+ n n aaa 3. 定义法 构造""0lim nn n xaxa 【例】设 1 1 1 1,2,3,. 1 n xn x 证明lim n n x 存在并求其值。
