2020年全国高中数学联赛（福建赛区）预赛暨2020年福建省高中数学竞赛试卷参考答案

1 20202020 年全国高中数学联赛（福建赛区）预赛年全国高中数学联赛（福建赛区）预赛 暨暨 20202020 年福建省高中数学竞赛年福建省高中数学竞赛试卷参考答案试卷参考答案 （考试时间：（考试时间：20202020 年年 6 6 月月 2727 日上午日上午 9 9：00001111：3030，满分，满分 160160 分）分） 一、填空题（共一、填空题（共 1010 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，满分分，满分 6060 分分. . 请直接将答案写在题中的横线上）请直接将答案写在题中的横线上） 1已知复数z满足1zzi，若 6 1 z z z 为正实数，则z . 【答案】【答案】22i 【解答】【解答】 由1zzi知，z的实部与虚部相等，设zxxi，xR. 则 22 5 (1)655 11(1) 111(1) xxiz zzxxixxi zzxxixx ， 2222 5(1)5 (1) (1)(1) xx xxi xxxx 由 6 1 z z z 为正实数，知 22 5(1) (1)0 (1) x x xx ，且 22 5 0 (1) x x xx ，解得2x . 所以，22zi. 2已知( )3cos()f xx（0，） ，若 5 ()0 8 f ， 11 ()3 8 f ，且( )f x的 最小正周期大于2，则. 【答案】【答案】 11 12 【解答【解答】 由 5 ()0 8 f ， 11 ()3 8 f ， 得 5 82 k ， 11 2 8 m （k,mZ） . 两式相减，得 3 2 42 mk ， 41 (2) 32 mk，m，kZ. 另由( )f x的最小正周期大于2，得 2 2 ，01. 于是， 41 0(2)1 32 mk， 15 2 24 mk. 由m，kZ，得21mk. 因此， 2 3 . 将 2 3 代入 11 2 8 m （mZ） ，得 11 2 12 m （mZ）.结 合，得 11 12 . 2 3 已 知x表 示 不 超 过x的 最 大 整 数 ， 集 合 2 60Ax xx， 2 2350Bxxx，则AB I. 【答案】【答案】 22 1 2 ， 【解答】【解答】 易知( 2 3)A ，若xA，则21 0 1 2x ， ，. 当2x 时，若xB，则 2 2650 x ，x不存在. 当1x 时，若xB，则 2 2350 x ，1x .1x 不符合要求，1x 符合要求. 当0 x时，若xB，则 2 2050 x ， 10 2 x ，均不符合要求. 当1x时，若xB，则 2 2350 x ，2x ，均不符合要求. 当2x时，若xB，则 2 2650 x ， 22 2 x . 22 2 x 符合要求， 22 2 x 不 符合要求. 所以， 22 1 2 AB ，I. 4已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有(1)(1)f xfx成立， 当12x时，( )lnf xx. 若关于x的方程( )10f xax 在3 5x，上有两个不相等的实数 根，则a的取值范围为. 【答案】【答案】 1 0 5 ， 【解答】解答】 如图，分别作出函数 ( )yf x与1yax 的图像，其中 (0 1)P， 1 (0)G a ，. 由图像可知，当 1 5 G x a ，即 1 0 5 a时，两函数图像在3 5x，上有两个不同的交点. 所以，a的取值范围为 1 0 5 ，. （第（第 4 题答题图题答题图） 3 5设 1 F、 2 F为双曲线C： 22 22 1 xy ab (0a ，0b ) 的左、右焦点，过 2 F的直线l交双 曲线C的右支于A、B两点， 且 12 0AF AF uuu r uuur ， 22 20F BF A uuuruuur ， 则双曲线C的离心率为. 【答案】【答案】 17 3 【解答【解答】 如图，设 2 AFt， 则依题意有 2 2BFt，3ABt， 1 2AFat， 1 22BFat. 由 12 0AF AF uuu r uuur ，知 12 AFAF. 所以， 222 1212 222 11 AFAFFF AFABFB 即 222 222 (2)(2 ) (2)(3 )(22 ) attc attat . 解得， 2 3 ta， 17 3 ca. 因此，离心率 17 3 e . 6在以凸十八边形的顶点为顶点构成的三角形中，任取一个三角形，则所取的三角形与 该十八边形无公共边的概率为. 【答案】【答案】 91 136 【解答】【解答】 以凸十八边形的顶点为顶点的三角形个数为 3 18 C. 对于凸十八边形的任意一个顶点A，要作为与凸边十八形无公共边的三角形的一个顶 点，则三角形的另外两个顶点B、C不能为顶点A在凸十八边形中的两条边的另外两个顶点， 只能是其它15个顶点中的不相邻的两个顶点，共有 2 15 14C种不同的选取方法. 所以，与原凸 十八边形无公共边的三角形的个数为 2 15 1 18 (14) 3 C. 因此，所求的概率为 2 15 3 18 1 18 (14) 91 3 136 C C . （第（第 5 题答题图题答题图） 4 7如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，点E、F、G分别在棱 1 AA、 11 AD、 11 DC上，E 为 1 AA中点， 11 1111 1 3 D FDG D ADC . 记平面EFG与平面 11 ABCD的交线为m，则直线m与平面 ABCD所成角的正切值为. 【答案】【答案】 3 58 58 【解答【解答】 如图，设 1 AD、EF的交点为P. 延长GF、 11 B A 交于点Q，则PQ为平面EFG与平面 11 ABCD的交线为m. 不 妨 设 正 方 体 棱 长 为 3 ， 则 由 11 1111 1 3 D FDG D ADC 知 ， 11 2AQAF. 作 11 PHAD于H，则 1111 PHABC D 平面，连结QH，则PQH 就是直线PQ与 1111 ABC D平面所成的角. 设PHx，则 1 AHx，由 11 PHFH EAFA ，得 2 3 2 2 xx ， 6 7 x . 于是， 22222 11 6 2( ) 7 QHQAAH， 2 58 7 QH . 所 以， 3 58 tan 58 PH PQH QH . 由 1111 ABCDABC D平面平面知，直线PQ与 1111 ABC D平面、ABCD平面所成角相等. 所 以，直线m与平面ABCD所成角的正切值为 3 58 58 . 8已知a、b、c、d为正数，且20202abcd，则 11 abcd 的最小值为. 【答案】【答案】 441 2 【解答】【解答】 由条件知， 2 11201 020() 2020220 cd cdcd . 所以， 111201 1201202012020441 ()(20 )(401)(4012) 2222 baba ab abcdabababab . 当且仅当20cd且 2020ba ab ，即 2 21 ab，1c ， 1 20 d 时等号成立. 所以， 11 abcd 的最小值为 441 2 . （第（第 7 题答题图题答题图） （第（第 7 题图）题图） 5 9已知实数m满足：当关于x的实系数一元二次方程 2 0axbxc有实根时， 2222 ()()()abbccama总成立，则m的最大值为. 【答案】【答案】 9 8 【解答】【解答】 设 222 2 ()()()abbcca a ，其中a、b、c为实数，0a . 当方程 2 0axbxc有实根时，设其两根为 1 x、 2 x.由韦达定理知， 12 b xx a ， 12 c x x a ， 于是， 222 222 2 222 12121212 22 1122 ()()() (1)()(1) (1)()(1) 2(1)(1) 339 2. 448 abbccabbcc aaaaa xxxxx xx x xxxx 当且仅当 12 1 2 xx ，即40abc时等号成立. 因此的最小值为 9 8 . 所以，m的 最大值为 9 8 . 10设正整数n为合数，( )f n为n的最小的三个正约数之和，( )g n为n的最大的两个正 约数之和. 若 3 ( )( )g nfn，则n的所有可能值为. 【答案】【答案】144 【解答】【解答】 解法一：解法一：设正整数n满足条件. 显然n的最小、最大的正约数分别为1，n.设p是n的最小素因子，则n的第二小、第二 大的正约数分别为p、 n p . 对于n的第三小的正约数，有以下两类情形： (1) 若第三小的正约数为 2 p，则 2 pn， 2 ( )1f npp ，( ) n g nn p . 由 2 pn，知( ) n g nn p 为p的倍数，( )0 ( mod)g np. 又 2 ( )11( mod)f nppp ， 3( ) 1( mod)fnp.于是， 3 ( )( )g nfn，与条件不符. (2) 若第三小的正约数是某一素数q(qp)，则( )11( mod )f npqpq ， 33 ( )(1) ( mod )fnpq. 6 由pq n，知( ) n g nn p 为q的倍数，( )0 ( mod )g nq. 于是， 3 (1)0 ( mod )pq. 由q为素数知，1qp. 于是，1pqp ，符合条件的素数p、q只有2p ，3q . 又2p ，3q 时，( )6f n ， 3 ( ) 2 n g n ，由 3 ( )( )g nfn，得 3 3 6 2 n ，144n . 经验证144n 符合要求. 所以，n的所有可能值为144n . 解法二解法二：若n是奇数，则n的正约数都是奇数，由( )f n与( )g n的定义知 3( ) fn为奇数，( )g n 为偶数，故n不满足条件. 因此只需考虑n是偶数的情况，此时12、是n的最小的两个正约数， 2 n n 、是n的最大的两 个正约数. 设d是n的第三小的正约数，则( )123f ndd= + +=+，( )3 22 nn g nn=+= ，所以， 3 3(3) 2 n d=+，从而， 33 (3)30(mod3) 2 n dd=. 于是，3|d，这样n的第三小的正约数只能是 3. 此时( )6f n =，故 3 36 2 n =，即144n=. 因此，n的所有可能值为144n=. 7 二、解答题（共二、解答题（共 5 5 小题，每小题小题，每小题 20