六年级下册数学试题-思维能力训练：第8讲.从极端考虑（解析版）全国通用

8+从极端考虑预 习本讲内容几何中的极端考虑数论中的极端考虑组合计数中的极端考虑前铺知识数字谜中的最值后续知识几何模块综合选讲（一）数论模块综合选讲（二）1、 在 523 后面加上三个数字，使得到的六位数能被 5、7、9 整除，那么得到的数最小是多少?【分析】5, 7, 9 = 315 ， 523000 315LL100 ， 523000 - 100 + 315 = 5232152、 48 名少先队员选中队长，候选人是甲、乙、丙三人，唱票中途累计，甲得 13 票，乙得10 票，丙得 7 票，得票多的人当选，则以后甲至少要再得 票才能当选【分析】已投票数：13 +10 + 7 = 30 （票），剩余48 - 30 = 18 （票）因为乙与甲的票数接近，所以只要甲比乙多 1 票就当选13 + A -10 + (18 - A) = 1A = 8 张3、 有四袋糖块，其中任意三袋的总和都超过 60 块，那么这四袋糖块的总和至少有 块【分析】最多的一袋糖数不小于另三袋糖的平均数，故不小于61 3 = 20 1 ，即它不小于 213颗从而四袋糖总和不小于21 + 61 = 82 (块)当四袋糖的数量分别 21，21，20，20颗时满足题意且恰好有 82 颗，所以这四袋糖的总数至少有 82 颗六年级第 8 讲从极端考虑（A 版）1（1）如图中的正方形面积为 4，阴影部分面积为 .（2）如图中的正六边形面积为 6，阴影部分面积为 .（3）下图中的正八边形面积为 8，阴影部分面积为 【分析】（1）考虑极端情况，中间的点取正方形的中心的话，阴影部分面积为总面积的一半，为 2.（2）法 1：中间点是任意的，所以从极端考虑，假设中间点在中心位置，那么图形如下所示：正六边形恰好被分成 6 个完全一样的正三角形，阴影部分占 3 个，所以阴影部分面积为正六边形的一半，所以面积为 6 2 = 3.法 2：延长正六边形不相邻的三条边至相交，形成一个正三角形(如图)，设六边形边长为 a，三角形边长为 b.连结中间点和三角形三个顶点，把三角形分成三个小三角形，由等高模型，三个小三角形中的三块阴影都分别占小三角形的，三块阴影的面积和也为大正三角形面积的 a .延长另外三条边abb至相交，形成正三角形(如图)，三角形边长也为 b，可以推出空白部分面积也为三角形面积的 a ，所b以阴影部分和空白部分面积相等，阴影部分面积为六边形的一半，即 6 2 = 3.（3）考虑极端情况，中间的点取正八边形的中心的话，阴影部分面积为总面积的一半，为 2.六年级第 8 讲从极端考虑 （A 版）2（1）图中的 E 、 F 、G 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点， H 为 AD 边上任意一点，如果正方形的边长是12 ，那么阴影部分的面积是 .ADGEBCF（2）长方形 ABCD 的面积为 36，E 、F 、G 为各边中点，H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HDAEGBCF【分析】（1）把另外三个三等分点标出之后，正方形的3 个边就都被分成了相等的三段.把 H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9 个形状各不相同的三角形.这9 个三角形的底边分别是在正方形的3 个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一.阴影部分被分割成了3 个三角形，右边三角形的面积和第1第2 个三角形相等：中间三角形的面积和第3 第4 个三角形相等；左边三角形的面积和第 5 个第 6 个三角形相等.因此这 3 个阴影三角形的面积分别是DABHDBCH、和DCDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一.正方形的面积是144 ，阴影部分的面积就是48 .HADGEBCF（2）法 1：特殊点法。由于 H 为 AD 边上任意一点，找 H 的特殊点，把 H 点与 A 点重合，那么阴影部分的面积就是DAEF 与DADG 的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形 ABCD 面积的1和，所以阴影部分面积为长方形 ABCD 面积的 1 + 1 = 3 ，为36 3 = 13.5 .1848488六年级第 8 讲从极端考虑 （A 版）36514 3 2A (H)DEGBCF法 2：寻找可利用的条件，连接 BH 、 HC ，如图:AHDEGBC= 36 ，F= 1 S= 1 S= 1 S= S+ S+ S可得： S、 S、 S，而 SDEHBDAHBDFHBDCHBDDHGDDHCABCDDAHBDCHBDCHD222+ S= 1 (S) = 1 36 = 18 .+ S+ S+ S即 SDEHBDBHFDDHGDAHBDCHBDCHD22， S= 1 BE BF = 1 ( 1 AB) ( 1 BC) = 1 36 = 4.5 。而 S+ S+ S= S+ SDEHBDBHFDDHGDEBF阴影DEBF22228所以阴影部分的面积是： S阴影 = 18 - SDEBF= 18 - 4.5 = 13.5 .ABCD 是边长为 12 的正方形，如图所示， P 是内部任意一点， BL = DM = 4 、BK = DN = 5 ，那么阴影部分的面积是 .LLABA (P)BALBKKKNNNDMCDMCDMC【分析】法 1:特殊点法。由于 P 是内部任意一点，不妨设 P 点与 A 点重合，那么阴影部分就是DADM 和DABK 。而DADM 的面积为12 4 2 = 24 ，DABK 的面积为12 5 2 = 30 ，所以阴影部分的面积为24 + 30 = 54 .法 2:寻找可以利用的条件，连结 AP 、 BP 、CP 、 DP 可得如图所示：+ S= 1 S= 1 122 = 72则有: SDPDCDPABABCD22同理可得： SDPAD + SDPBC= 72 ;= 1 S= DM : DC = 4 :12 = 1: 3 ,即 S而 S: S；DPDMDPDCDPDMDPDC3= 1 S355=S=S12同理： S, S, S;DPBLDPABDPNDDPDADPBKDPBC12+ S) = 1 (S5+ S) + (S+ S) +(S 12+ S所以： (S)DPDMDPBLDPNDDPBKDPDCDPABDPDADPBC3六年级第 8 讲从极端考虑 （A 版）4PP+ S= 1 (S5+ S) +(S 12+ S阴影部分的面积是： S)DPNMDPLKDPDCDPABDPDADPBC3即为： 1 72 +512 72 = 24 + 30 = 54 .3【拓展】已知 DABC 中， AB = AC = 12cm ， DABC 的面积是42cm2 ， P 是 BC 上任意一点， P 到 AB ， AC 的距离分别是 x 厘米、 y 厘米，那么 x + y = .AABB (P)PCC1 ： 特殊点法。由于 P 是 BC 上任意一点，不妨设 P 在 B 点( 如图)，则此时 x = 0 ，那么【分析】法= 1 AC y = 42 ，得到 y = 7 ， x + y = 7 。SDABC2法 2：如图所示，连接 AP .三角形 ABC 的面积等于三角形 APB 与三角形 APC 的面积之和，而这两个三角形的底 AB 、 AC 相等，高分别为 x 和 y ，所以12 ( x + y ) 1 = 42 ，可得 x + y = 7 .2将 100 个苹果分给 10 个小朋友，每个小朋友分得的苹果个数互不相同。分得苹果个数最多的小朋友至少得到多少个苹果？【分析】方法一：根据最不利的原则，应让所有人得的苹果都少而且所有人的苹果个数应当尽量接近，10 个小朋友先分别得到：1，2，310 个苹果，剩下的苹果除以 10 得100 - (1 + 2 + 3 +L + 10) = 45 ， 45 10 = 4L5所以，再给每个小朋友增加 4 个苹果，后 5 个小朋友每人再增加 1 个苹果，10 个小朋友的苹果个数应分别为：5，6，7，8，9，11，12，13，14，15。所以，得到苹果最多的小朋友至少得 15 个。方法二：100 个分给 10 个人，每个人平均得 10 个，以 10 为中间数，向两边扩展，最终的就是 5，6，7，8，9，11，12，13，14，15。最多的至少可以分 15 个。甲乙丙丁戊五个人参加了一场满分为 100 分的考试，考试结束后统计总分 476 分，五个人的分数各不相同且都为整数，问，第三名的分数最少为多少分？【分析】要求第三名的分数最少，那么应该使前两名的分数尽可能的大，第一名最高为 100 分，第二名最高为 99 分，那么剩下的三人的成绩总分为 277 分，要使第三名的分数尽可能的小，那么应该使第四名和第五名的分数尽可能的高，也就是后三名的分数尽可能的平均， 277 3 = 92L1，所以应该是91 分，92 分，94 分，所以第三名最少应该是 94 分试除法六位自然数 2015WW 能被 72 整除，这个六位数最小是多少 ?【分析】因为201500 72 = 2798L 44 ，最小的六位数是201500 + (72 - 44) = 201528.六年级第 8 讲从极端考虑 （A 版）5(1)艾迪参加了“我是小歌手”节目，包括艾迪在内的 7 名歌手分别演唱两轮，然后每轮都会有 500 名观众为7 名选手投票(每名观众投 1 票给 7 人中的某一个)，两次总票数最低的人将被淘汰. 于是艾迪想：“第一轮演唱，我得到第几名就保证不会被淘汰了呢？”(2)同样的规则，如果艾迪第一轮拿到第一名，请问第二轮艾迪要得到第几名才有可能总分第一？第二轮艾迪 要得到第几名才一定能保证总分第一？说出你的理由.(3)同样的规则，如果艾迪两次演唱的名次是相同的，请问：为了保证总票数不落到最后一名，艾迪这两次至 少都应拿到第几名？【分析】(1)即使第一轮得到第一名，两次总分也可能是最低的. 构造如下：这说明即使有单轮第一，也有总分被淘汰的可能。最不利原则告诉我们：应