《新编》开关理论基础

第三章：开关理论基础内容提要【熟悉】数制的相互转换；【熟悉】逻辑代数的三种基本运算和五种复合运算；【掌握】逻辑代数的基本定律和三个基本规则；【掌握】逻辑函数的两种化简方法。一 一网上导学二 二典型例题三 三本章小结四 四习题答案网上导学：一.数制的相互转换： *进制：若有0n-1 共计 n 个数字符号,即 "基数" 为 n ；逢 n 进一，即 n 进制。常见的有十进制 (09),二进制 (0,1) 和十六进制 (19,A F) 等."权" ：一个数字符号在不同的位置上所代表的数值不同,即各个位置的 "权" 不同.例如： (1947.4)10=(1103910241017100410 1)10 (AE3.C)16=(101621416131601216 1)10=(2787.75)10(101011.11)2=(12512312112012 1122)10=(43.75)10 BCD码：以四位二进制代码表示一位十进制数，称为 "二十进制" ，又称 BCD 码，常用有 8421BCD码,即四位二进制代码每位的权从左向右依次为 8,4,2,1.例如 (100101010110)8421BCD=(1811,1411,1412)10=(956)10 十进制8.4.2.1BCD 码0000100012001030011401005010160110701118100091001权8421 1.非十进制十进制：乘权求和(见上) 2.十进制非十进制：整数除基求余,小数乘基求整(根据误差要求确定乘基次数,仅作了解)p68-69 3.二进制和十六进制的相互转换：p67-68 二进制十六进制：将二进制的每四位转换成十六进制的一位； 十六进制二进制：将十六进制的每一位转换成二进制的四位。二. 逻辑代数的三种基本运算和五种复合运算：p73-79 *逻辑代数：按逻辑规律进行运算的代数,又称布尔代数； 逻辑变量：逻辑代数的变量,常用大写字母表示。在二值逻辑中,变量只有两种取值,即逻辑0和逻辑1,它表示事物矛盾双方的一种符号,而不是表示数值大小. 1.三种基本运算：p73-76 a. 逻辑加（或运算）：电路(图3.2.1.p73) 逻辑关系：任意一个或一个以上条件满足（即条件为真）时，事件就会发生（事件为真）。事件为真，记为逻辑1，事件为伪，记为逻辑0.(正逻辑)真值表：(把所有可能出现的输入变量的组合，及其对应的输出变量的值即函数值用表格方式列出来) 工作状态表逻辑抽象,设定逻辑状态真值表,表3.2.2 p74 逻辑表达式：(用逻辑代数中的函数表示式描述逻辑函数) F=AB 逻辑符号：(图3.2.2,记住国标符号p74) 运算规则：00=0, 01=1, 10=1, 11=1. b. 逻辑乘（与运算）：电路(图3.2.3.p74) 逻辑关系：只有当全部条件都满足（为真）时，事件才会发生（为真）,否则事件不会发生(为假)。真值表：(表3.2.3p75) 逻辑表达式：F=AB 逻辑符号：(图3.2.4,记住国标符号p75) 运算规则：00=0, 01=0, 10=0, 11=1. c. 逻辑反（非运算）：电路(图3.2.5.p75) 逻辑关系：当条件不满足（为假）时，事件为真；当条件满足（为真值表）时，事件为假,即输入和输出状态始终相反.真值表：(表3.2.3p75) 逻辑表达式：F = 逻辑符号：(图3.2.6,记住国标符号p76) 运算规则： 2.常见的五种复合运算：a.与非：(p76)逻辑关系：只有当输入全为1时,输出才为0;否则输出为1.逻辑表达式：符号：(图3.3.1, p76) 真值表：(表3.3.1p76)b.或非：(p77)逻辑关系：只有当输入全为0时,输出才为1;否则输出为0.逻辑表达式：符号：(图3.3.3, p77) 真值表：(表3.3.2p77)c.与或非：(p77) 逻辑表达式：（运算次序：先与后或）符号：(图3.3.5, p77) 真值表：(表3.3.3p78) d.异或：(p78) 逻辑关系：当两路输入信号不同(相异)时,输出为1;相同时输出为0.逻辑表达式：符号：(图3.3.6, p78) 真值表：(表3.3.4p78)e.异或非：又称同或 (p79) 逻辑关系：当两路输入信号相同时,输出为1;不同时输出为0.与异或相反.逻辑表达式：=AB符号：(图3.3.8, p79) 真值表：(表3.3.5p79)三. 逻辑代数的基本定律和三个基本规则 1. 基本定律：(1)交换律：AB=BA , AB=BA(2)结合律：A（BC）=（AB）C , A（BC）=（AB）C(3)分配律：A（BC）=ABAC （乘对加分配）, A（BC）=（AB）（AC） （加对乘分配）(4)吸收律：AAB=A , A(AB)=A(5)0-1律：A1=1 , A0=A , A0=0 , A1=A(6)互补律：A=1 , A=0(7)重叠律：AA=A , AA=A(8)对合律：(9)反演律：, 上述基本定律证明可以用真值表进行校验。表3.4.1 p80 2. 三个基本规则：(1) (1)代入规则：p81含有变量A的等式，将所有出现的A都代之以一个逻辑函数F，则等式依然成立。（即将逻辑函数作为一个逻辑变量对待）例3.4.1 , 例3.4.2 p81(2) (2)反演规则：（又名荻摩根定理）p81对逻辑函数F，在经过与和或、0和1、原变量和反变量三个互换(即将其逻辑表达式中所有的乘（*）换成（+），加（+）换成乘（*）；常量0换成1,1换成0；原变量换成反变量，反变量换成原变量)后，则所得到的逻辑表达式即是（即函数F的反）的表达式。但必须注意两点：a.变换的优先顺序是：先变括号内然后变与换成或最后变或换成与(相一似四则运算顺序)；b.不属于单个变量上的反号保留不变。 例3.4.3 , 例3.4.4 p81(3) (3)对偶规则：p81-82 (4) (4)对逻辑函数F，将其函数表达式中所有的乘（*）换成加（+），加（+）换成乘（*）；0换成1，1换成0(即反演规则中原变量和反变量的互换不进行)就得到逻辑函数F的对偶式F*的表达式。F*和F是互为对偶的。对偶规则：若两个表达式F和L相等，则它们的对偶式F*和L*也相等.对偶规则可通过反演规则和代入规则予以证明。 例3.4.5 , 例3.4.6 p82四. 逻辑函数的两种化简方法：*逻辑函数的标准形式：p83-87 了解与-或(与项之间只进行或运算,称为积之和) 表达式和或-与(或项之间只进行与运算,称为和之积)表达式及最简与-或表达式的概念p83a.由真值表写出逻辑表达式 p83-84(最小项之和的形式)即真值表中所有输出为1的输入组态(与项)之和,输入变量为1以原变量表示, 输入变量为0以反变量表示。例3.6.1, 例3.6.2 p83-84 b.最小项及其性质 p85-87 在有n个逻辑变量的一个与项中,每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次,则该与项称为最小项.对于n个变量来说,可有2n个最小项. 最小项性质：全体最小项之和为1；任意两个最小项之积为0；两个相邻最小项之和可以合并成一个与项，并消去一个因子。 最小项编号：任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，变量的其它取值都使该最小项为0。当最小项为1时，各输入变量的取值视为二进制数，其对应的十进制数i作为最小项的编号，并把该最小项记作mi =0(2n-1) 标准与-或表达式：任意一个逻辑函数均可表示成唯一的一组最小项之和形式，称它为标准的与-或表达式（最小项表达式）。最简与-或表达式应是与项个数最少，且每个与项中含的变量个数也最少. 1.代数法：常用公式(1)并项法：利用公式 将两项并为一项 (2)吸收法：利用公式 A+AB=A 吸收多余的与项；(3)消去法：利用公式 消去多余因子；利用公式 消去多余的项 推论：(4)反演： , 同理有：例p88-89 2.卡诺图法：p89-94卡诺图化简原理 (1)卡诺图： *了解逻辑相邻和几何(位置)相邻的概念 逻辑相邻：两个最小项中，只有一个变量的形式不同;举例. 几何相邻：位置(立体) 相邻. 即最上边与最下边、最左边与最右边、四个角都相邻； 卡诺图的结构(二、三、四变量，图3.8.1p90):符合逻辑相邻的最小项也几何相邻 (2)用卡诺图化简（输入变量少于5个）：卡诺图化简步骤a.用卡诺图正确地表示一个逻辑函数：凡该逻辑函数含有的最小项，则在对应变量数的卡诺图中相应小方格位置上填上1，没有的最小项，则在相应小方格位置上填上0或不填. b.化简：即画圈合并相邻最小项 注意：画圈的原则是a.相邻，b.矩形，c.最小项个数应2、4、8，即2k个最小项画一个圈，可消去k个变量因子。画圈的要求是a. 这些圈应包含函数的所有最小项(可以重复)；b.每个圈即构成一个与项(找出它们的公共因子即为该与项的表达式)，画圈的个数应最少(即与项数目少)；每个圈应可能大(即该与项中变量个数少).c.写出最简与-或表达式：找出每个圈中变量的公共因子即为该与项的表达式，然后再或()即是. 例3.8.1，3.8.2，3.8.3，图3.8.2，图3.8.3，图3.8.4，p90-91 (下面卡诺图中,ABCD位置颠倒,其顺序位置也将改变,千万注意) (b)图比(a)图少画一个圈,即最简.说明：最简与-或表达式有可能不是惟一的(图3.8.6) (3)含随意项的逻辑函数的化简：a.随意项：某些输入组合对应的输出值是未指定的（或随意的），称这些输入组合对应的最小项为“随意项”，可用“”、“”、“d”表示，进行逻辑化简时，随意项可视为0,也可视为1。b约束方程：随意项之和（随意条件d）。c含随意项的化简方法：随意项需要时当作1,不需要时看作0即可. 注：如卡诺图中含0的小方格数目很少,可利用“含0的方格群”求其反函数的最简与-或表达式。例3.8.4 图3.8.7 典型例题 31数制