《勾股定理》典型例题 .pdf

勾股定理 典型例题分析 一 知识要点 1 勾股定理 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 也就是说 如果 直角三角形的两直角边为a b 斜边为 c 那么a2 b2 c2 公式的变形 a2 c2 b2 b2 c 2 a2 2 勾股定理的逆定理 如果三角形ABC的三边长分别是a b c 且满足 a2 b2 c2 那么三角形ABC 是直角三角形 这个定理叫做勾股定理的逆定理 该定理在应用时 同学们要注意处理好如下几个要点 已知的条件 某三角形的三条边的长度 满足的条件 最大边的平方 最小边的平方 中间边的平方 得到的结论 这个三角形是直角三角形 并且最大边的对角是直角 如果不满足条件 就说明这个三角形不是直角三角形 3 勾股数 满足 a2 b2 c2的三个正整数 称为勾股数 注意 勾股数必须是正整数 不能是分数或小数 一组勾股数扩大相同的正整数倍后 仍是勾股数 常 见勾股数有 3 4 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 8 15 17 9 40 41 4 最短距离问题 主要运用的依据是两点之间线段最短 二 考点剖析 考点一 利用勾股定理求面积 1 求阴影部分面积 1 阴影部分是正方形 2 阴影部分是长方形 3 阴影 部分是半圆 2 如图所示 分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形 其面积分别是S1 S2 S3 则它们之间的关系是 A S1 S2 S3 B S1 S2 S3 C S2 S31 那么它的斜边长是 A 2n B n 1 C n2 1 D 1n 2 7 在 Rt ABC中 a b c 为三边长 则下列关系中正确的是 A 222 abcB 222 acbC 222 cbaD 以上都有可能 8 已知 Rt ABC 中 C 90 若a b 14cm c 10cm 则 Rt ABC 的面积是 A 24 2 cm B 36 2 cm C 48 2 cm D 60 2 cm 9 已知 x y 为正数 且 x 2 4 y2 3 2 0 如果以 x y 的长为直角边作一 个直角三角形 那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为 A 5 B 25 C 7 D 15 考点三 应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例 如图1 所示 等腰中 是底边上的高 若 求 AD 的长 ABC的面积 考点四 勾股数的应用 利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 最大 最小角 的问题 1 下列各组数据中的三个数 可作为三边长构成直角三角形的是 A 4 5 6 B 2 3 4 C 11 12 13 D 8 15 17 2 若线段 a b c 组成直角三角形 则它们的比为 A 2 3 4 B 3 4 6 C 5 12 13 D 4 6 7 3 下面的三角形中 ABC中 C A B ABC中 A B C 1 2 3 ABC中 a b c 3 4 5 ABC中 三边长分别为8 15 17 其中是直角三角形的个数有 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 4 若三角形的三边之比为 21 1 2 2 则这个三角形一定是 A 等腰三角形B 直角三角形 C 等腰直角三角形D 不等边三角形 5 已知 a b c 为 ABC三边 且满足 a2 b2 a 2 b2 c2 0 则它的形状为 A 直角三角形B 等腰三角形 C 等腰直角三角形D 等腰三角形或直角三角形 6 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数 得到的三角形是 A 钝角三角形B 锐角三角形C 直角三角形D 等腰三角形 7 若 ABC 的三边长a b c 满足 222 abc20012a16b20c 试判断 ABC的形状 8 ABC 的两边分别为5 12 另一边为奇数 且a b c是 3 的倍数 则c 应 为 此三角形为 例 3 求 1 若 三 角 形 三 条 边 的 长 分 别 是7 24 25 则 这 个 三 角 形 的 最 大 内 角 是 度 2 已知三角形三边的比为1 3 2 则其最小角为 考点五 应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 某楼梯的侧面视图如图3 所示 其中米 因某种活动要求铺设红色地毯 则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 考点六 利用列方程求线段的长 方程思想 小强想知道学校旗杆的高 他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米 当他 把绳子的下端拉开5米后 发现下端刚好接触地面 你能帮他算出来吗 2 一架长m的梯子 斜立在一竖起的墙上 梯子 底端距离墙底m 如图 如果梯子的顶端沿墙下滑m 那么梯子底端将向左滑 动米 3 如图 一个长为10 米的梯子 斜靠在墙面上 梯子的顶端距地面的 垂直距离为8 米 如果梯子的顶端下滑1 米 那么 梯子底端的滑动距 离1 米 填 大于 等于 或 小于 4 在一棵树10 m 高的 B 处 有两只猴子 一只爬下树走到离树20m 处的池塘 A 处 另外一只爬到树顶D 处后直接跃到A 外 距离以 直线计算 如果两只猴子所经过的距离相等 试问这 棵树有多高 8 6 C A D B A BC 5 如图 是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图 根据图中标出尺寸 单位 mm 计算两圆孔中心A 和 B的距离为 8 米 2米 8米 第 6 题图 6 如图 有两棵树 一棵高8米 另一棵高2米 两树相距8米 一只小鸟 从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢 至少飞了米 7 如图 18 15 所示 某人到一个荒岛上去探宝 在A处登陆后 往东走8km 又 往北走2km 遇到障碍后又往西走3km 再折向北方走到5km 处往东一拐 仅 1km 就找到了宝藏 问 登陆点 A 处 到宝藏埋藏点 B 处 的直线距离是多 少 考点七 折叠问题 1 如图 有一张直角三角形纸片 两直角边AC 6 BC 8 将 ABC折叠 使点B 与点 A 重合 折痕为DE 则 CD 等于 A 4 25 B 3 22 C 4 7 D 3 5 2 如图所示 已知 ABC中 C 90 AB的垂直平分线交BC 于 M 交 AB 于 N 若 AC 4 MB 2MC 求 AB的长 60 1 2 0 140 B 6 0 A C 第 5 题 图 18 15 1 5 3 2 8 B A AB C E D 3 折叠矩形ABCD的一边 AD 点 D 落在 BC边上的点F处 已知 AB 8CM BC 10CM 求 CF 和 EC 4 如图 在长方形ABCD中 DC 5 在 DC边上存在一点E 沿直线 AE把 ABC 折叠 使点D 恰好在BC边上 设此点为F 若 ABF 的面积为30 求折叠的 AED的面积 D C B A F E 5 如图 矩形纸片ABCD的长 AD 9 宽 AB 3 将其折叠 使点D 与点 B 重合 那么折叠后DE的长是多少 6 如图 在长方形ABCD中 将ABC沿 AC 对折至AEC位置 CE与 AD 交于 点 F 1 试说明 AF FC 2 如果 AB 3 BC 4 求 AF 的长 A BC E F D 7 如图 2 所示 将长方形ABCD沿直线 AE折叠 顶点 D 正好落在BC边上 F点处 已知 CE 3cm AB 8cm 则图中阴影部分面积为 8 如图 2 3 把矩形 ABCD沿直线 BD 向上折叠 使点C 落在 C 的位置上 已知 AB 3 BC 7 重合部分 EBD的面积为 9 如图 5 将正方形ABCD折叠 使顶点A 与 CD边上的点M 重合 折痕交AD 于 E 交 BC于 F 边 AB折叠后与BC边交于点G 如果 M 为 CD 边的中点 求证 DE DM EM 3 4 5 10 如图 2 5 长方形ABCD中 AB 3 BC 4 若将该矩形折叠 使C 点与 A 点 重合 则折叠后痕迹EF的长为 A B C D 2 5 11 如图 1 3 11 有一块塑料矩形模板ABCD 长为 10cm 宽为 4cm 将你手中 足够大的直角三角板PHF 的直角顶点P落在 AD 边上 不与A D 重合 在 AD 上适当移动三角板顶点P 能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点 C 若能 请你求出这时AP 的长 若不能 请说明理由 再次移动三角板位置 使三角板顶点P 在 AD 上 移动 直角边PH 始终通过点B 另一直角边PF 与 DC 的延长线交于点Q 与 BC交于点 E 能否使 CE 2cm若 能 请你求出这时AP的长 若不能 请你说明理由 12 如图所示 ABC是等腰直角三角形 AB AC D 是斜边 BC的中点 E F分 别是 AB AC边上的点 且DE DF 若 BE 12 CF 5 求线段 EF的长 13 如图 公路MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇 且 QPN 30 点 A 处有一所 中学 AP 160m 假设拖拉机行驶时 周围100m 以内会受到噪音的影响 那么 拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时 学校是否会受到噪声影响请说明理由 如果受影响 已知拖拉机的速度为18km h 那么学校受影响的时间为多少秒 考点八 应用勾股定理解决勾股树问题 1 如图所示 所有的四边形都是正方形 所有的三角 形都是直角三角形 其中 最大的正方形的边长为5 则正方形A B C D 的面 积的和为 2 已知 ABC是边长为1 的等腰直角三角形 以Rt ABC的斜边 AC为直角边 画第二个等腰Rt ACD 再以 Rt ACD的斜边 AD 为直角边 画第三个等腰Rt ADE 依此类推 第n 个等腰直角三角形的斜边长是 A B C D EF G 4 3 12 13 B C D A 考点九 图形问题 1 如图 1 求该四边形的面积 2 如图 2 已知 在 ABC中 A 45 AC 2 AB 3 1 则 边BC 的 长 为 3 某公司的大门如图所示 其中四边形 是长方形 上部是以 为直径的半圆 其中 2 现有 一辆装满货物的卡车 高为 宽为 问这辆卡车能否通过 公司的大门并说明你的理由 4 将一根长24 的筷子置于地面直径为5 高为 12 的圆柱形水杯中 设 筷子露在杯子外面的长为h 则 h 的取值范围 5 如图 铁路上A B 两点相距25km C D 为两村庄 DA 垂直 AB 于 A CB 垂直 AB 于 B 已知 AD 15km BC 10km 现在要在铁路AB 上建一个土特产品收 购站 E 使得 C D 两村到 E站的距离相等 则E站建在距A 站多少千米处 考点十 其他图形与直角三角形 如图是一块地 已知AD 8m CD 6m D 90 AB 26m BC 24m 求这块地 的面积 考点十一 与展开图有关的计算 1 如图 在棱长为1 的正方体ABCD A B C D 的表面上 求从顶点A 到顶 点 C 的最短距离 2 如图一个圆柱 底圆周长6cm 高 4cm 一只蚂蚁沿外壁爬行 要从A 点爬到 B点 则最少要爬行cm 3 国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状 目前正在全国各地农村进 行电网改造 某地有四个村庄A B C D 且正好位于一个正方形的四个顶点 现计划在四个村庄联合架设一条线路 他们设计了四种架设方案 如图实线部 分 请你帮助计算一下 哪种架设方案最省电线 考点十二 航海问题 1 一轮船以16 海里 时的速度从A 港向东北方向航行 另一艘船同时以12 海里 时的速度从A 港向西北方向航行 经过小时后 它们相距 海里 2 如图 某货船以24 海里 时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处 在点 A处测得某岛C在北偏 东 60 的方向上 该货船航行30 分钟 到达 B 处 此时又测得该岛在北偏东30 的方向上 已知在 C岛周围 9 海里 的区域内有暗礁 若继续向正东方向航行 该货船有无暗礁 危险试说明理由 3 如图 某沿海开放城市A 接到台风警报 在该市正南方向260km 的 B 处有一 台风中心 沿BC 方向以15km h的速度向D 移动 已知城市A 到 BC 的距离 A B D B C A 东 北 30 60 B A C M D AD 100km 那么台风中心经过多长时间从B 点移到 D 点如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险 正在 D 点休闲的游