高中数学第三章推理与证明3.4反证法学案北师大选修1-2

4反证法1了解间接证明的一种基本方法反证法2理解反证法的概念及思考过程和特点(难点)3掌握反证法证题的基本步骤，会用反证法证明相关的数学问题(重点、难点)基础初探教材整理反证法阅读教材P65P67“练习”以上内容，完成下列问题1反证法的定义在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立这种证明方法叫作反证法2反证法证明的思维过程反证法的证明过程可以概括为“否定推理否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用框图341表示：图341判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)反证法属于间接证明问题的方法()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理，也可以是一种演绎推理()(3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾()【解析】(1)正确反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接问题的方法(2)错误反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理(3)错误反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型用反证法证明否定性命题等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393. 【导学号：67720020】(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列【精彩点拨】第(1)问应用ana1(n1)d和Snna1n(n1)d两式求解第(2)问先假设存在三项bp，bq，br成等比数列，再用反证法证明【自主解答】(1)设等差数列an的公差为d，由已知得d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明：由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)，(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN，2pr，(pr)20，pr，这与pr矛盾所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列1当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适合应用反证法例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾2反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法3常见否定词语的否定形式如下表所示：否定词语否定词语的否定形式没有有不大于大于不等于等于不存在存在再练一题1已知方程f(x)ax(a>1)，证明：方程f(x)0没有负数根【证明】假设x0是方程f(x)0的负数根，则x0<0，x01且ax00，所以ax0.又当x0<0时，0<ax0<1，故0<<1，即0<1<1,1<<2，解得<x0<2.这与x0<0矛盾， 所以假设不成立，故方程f(x)0没有负数根用反证法证明“至多”“至少”问题已知x，y，z均大于零，求证：x，y，z这三个数中至少有一个不小于4.【精彩点拨】本题中含有“至少”，不宜直接证明，故可采用反证法证明【自主解答】假设x，y，z都小于4，即x<4，y<4，z<4，于是得<12，而2 2 2 12，这与<12矛盾，因此假设错误，即x，y，z中至少有一个不小于4.1用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误2用反证法证明“至多”“至少”问题时常见的“结论词”与“反设词”如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n1个p或qp且q至多有n个至少有n1个p且qp或q再练一题2若x>0，y>0，且xy>2，求证：与至少有一个小于2.【证明】假设与都不小于2，即2，2.x>0，y>0，1y2x,1x2y，两式相加得2(xy)2(xy)，xy2，这与已知中xy>2矛盾，假设不成立，原命题成立故与至少有一个小于2.探究共研型用反证法证明“唯一性”命题探究1用反证法证明数学命题的步骤是什么？【提示】(1)反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真(2)归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果(3)存真：由矛盾的结果断定反设不真，从而肯定原结论成立探究2如何证明两条相交直线有且只有一个交点？【提示】假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾所以两条相交直线有且只有一个交点已知一点A和平面.求证：经过点A只能有一条直线和平面垂直【精彩点拨】【自主解答】根据点A和平面的位置关系，分两种情况证明(1)如图，点A在平面内，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于经过点A的一条直线a.因为AB平面，AC平面，a，所以ABa，ACa，在平面内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾(2)如图，点A在平面外，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB和AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于直线BC，因为AB平面，AC平面，BC，所以ABBC，ACBC.在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾综上，经过一点A只能有一条直线和平面垂直证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了再练一题3若函数f(x)在区间a，b上的图像连续不断，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在a，b上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点【证明】由于f(x)在a，b上的图像连续不断，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)0，假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)0，则nm.若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点构建体系1应用反证法推出矛盾的推理过程中可作为条件使用的是()结论的否定；已知条件；公理、定理、定义等；原结论ABCD【解析】根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”“已知条件”“公理、定理、定义等”作为条件使用【答案】C2实数a，b，c不全为0等价于()Aa，b，c均不为0Ba，b，c中至多有一个为0Ca，b，c中至少有一个为0Da，b，c中至少有一个不为0【解析】不全为0即至少有一个不为0，故选D.【答案】D3命题“ABC中，若A>B，则a>b”的结论的否定应该是()Aa<bBabCabDab【解析】“大于”的否定是“不大于”，即“小于或等于”，故选B.【答案】B4用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a，b，c中无偶数”，正确的假设为_【解析】a，b，c中无偶数，即a，b，c都是奇数，反设应是“a，b，c中至少有一个偶数”【答案】a，b，c中至少有一个偶数5若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一个方程有两个相异实根【证明】假设三个方程中都没有两个相异实根，则14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0.相加得a22abb2b22bcc2c22aca20，(ab)2(bc)2(ca)20，abc，这与a，b，c互不相等矛盾假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是()A有两个内角是钝角B有三个内角是钝角C至少有两个内角是钝角D没有一个内角是钝角【解析】“最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.【答案】C2下列命题错误的是()A三角形中至少有一个内角不小于60B四面体的三组对棱都是异面直线C闭区间a，b上的单调函数f(