圆的概念 公式及推导(完整版)

圆的定义 几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。 轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。 集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。圆的相关量 圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.14159265358979323846，通常用表示，计算中常取3.1416为它的近似值。 圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。圆和圆的相关量字母表示方法圆 半径r 弧 直径d 扇形弧长圆锥母线l 周长C 面积S 圆和其他图形的位置关系 圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在O外，POr；P在O上，POr；P在O内，POr。 直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OPAB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与O相离，POr；AB与O相切，POr；AB与O相交，POr。 两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且Rr，圆心距为P：外离PR+r；外切P=R+r；相交R-rPR+r；内切P=R-r；内含PR-r。【圆的平面几何性质和定理】有关圆的基本性质与定理 圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 有关外接圆和内切圆的性质和定理 一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。有关切线的性质和定理 圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。 切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线的长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等。有关圆的计算公式1.圆的周长C=2r=d 2.圆的面积S=r 3.扇形弧长l=nr/1804.扇形面积S=nr/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=rl弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另 图示一边和圆相切的角叫做弦切角。 如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有PCA=PBC(PCA为弦切角）。 弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角） 弦切角定理证明： 证明一：设圆心为O，连接OC，OB,连接BA并延长交直线T于点P。 TCB=90-OCB BOC=180-2OCB 此图证明的是弦切角TCB,BOC=2TCA（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半） BOC=2CAB（圆心角等于圆周角的两倍） TCA=CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角） 证明已知：AC是O的弦，AB是O的切线，A为切点，弧是弦切角BAC所夹的弧. 求证：（弦切角定理） 证明：分三种情况： （1）圆心O在BAC的一边AC上 AC为直径，AB切O于A， 弧CmA=弧CA 为半圆, CAB=90=弦CA所对的圆周角 B点应在A点左侧（2）圆心O在BAC的内部. 过A作直径AD交O于D, 若在优弧m所对的劣弧上有一点E 那么，连接EC、ED、EA 则有：CED=CAD、DEA=DAB CEA=CAB （弦切角定理） （3）圆心O在BAC的外部, 过A作直径AD交O于D 那么 CDA+CAD=CAB+CAD=90 CDA=CAB （弦切角定理） 弦切角推论:若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 举例: 例1：如图，在中，C=90，以AB为弦的O与AC相切于点A，CBA=60 , AB=a 求BC长. 解：连结OA，OB. 在中, C=90 BAC=30 BC=1/2a(中30角所对边等于斜边的一半） 例1：如图，在中，C=90，以AB为弦的O与AC相切于点A，CBA=60 , AB=a 求BC长. 解：连结OA，OB. 在中, C=90 BAC=30 BC=1/2a(中30角所对边等于斜边的一半） 例2：如图，AD是ABC中BAC的平分线，经过点A的O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EFBC. 证明：连DF. AD是BAC的平分线BAD=DAC EFD=BAD EFD=DAC O切BC于D FDC=DAC EFD=FDC EFBC 例3：如图，ABC内接于O，AB是O直径，CDAB于D，MN切O于C， 求证：AC平分MCD，BC平分NCD. 证明：AB是O直径 ACB=90 CDAB ACD=B， MN切O于C MCA=B， MCA=ACD， 即AC平分MCD， 同理：BC平分NCD.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。 如图中，切线长AC=AB。 ABO=ACO=90 BO=CO=半径 AO=AO公共边 RtABORtACO（H.L） AB=AC AOB=AOC OAB=OAC 切线长定理推论：圆的外接四边形的两组对边的和相等 切线长的概念 如图，P是O外一点，PA，PB是O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到O的切线长 引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 推广：连接BC，BCAO相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等） 相交弦说明几何语言： 若弦AB、CD交于点P 则PAPB=PCPD（相交弦定理） 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 几何语言： 若AB是直径，CD垂直AB于点P， 则PC2=PAPB（相交弦定理推论） 编辑本段如何证明证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得AD，CB。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.） PACPDB，PAPDPCPB，PAPBPCPD 注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。 几何语言： PT切O于点T，PBA是O的割线 PT的平方=PAPB（切割线定理） 推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言： PBA，PDC是O的割线 PDPC=PAPB（切割线定理推论）(割线定理） 由上可知:PT的平方=PAPB=PCPD 证明切割线定理证明: 设ABP是O的一条割线，PT是O的一条切线，切点为T，则PT²=PAPB 证明：连接AT, BT PTB=PAT(弦切角定理) P=P(公共角) PBTPTA(两角对应相等,两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT²=PBPA 相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等） 相交弦说明几何语言： 若弦AB、CD交于点P 则PAPB=PCPD（相交弦定理） 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 几何语言： 若AB是直径，CD垂直AB于点P， 则PC2=PAPB（相交弦定理推论） 如何证明证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得AD，CB。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.） PACPDB，PAPDPCPB，PAPBPCPD 注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。 从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D