2020高考数学备考最新压轴题(一)(通用)
2020备考最新数学压轴题之一1.(本小题满分12分)已知,函数,(其中为自然对数的底数)(1)判断函数在区间上的单调性;(2)是否存在实数,使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由解(1):,令,得 若,则,在区间上单调递增. 若,当时,函数在区间上单调递减,当时,函数在区间上单调递增,若,则,函数在区间上单调递减. 6分(2)解:,由(1)可知,当时,此时在区间上的最小值为,即当, 曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解 而,即方程无实数解 故不存在,使曲线在处的切线与轴垂直12分2(本小题满分12分)已知线段,的中点为,动点满足(为正常数)(1)建立适当的直角坐标系,求动点所在的曲线方程;(2)若,动点满足,且,试求面积的最大值和最小值 解(1)以为圆心,所在直线为轴建立平面直角坐标系.若,即,动点所在的曲线不存在;若,即,动点所在的曲线方程为; 若,即,动点所在的曲线方程为.4分(2)当时,其曲线方程为椭圆.由条件知两点均在椭圆上,且设,的斜率为,则的方程为,的方程为 解方程组得,同理可求得, 面积= 8分令则令 所以,即 当时,可求得,故, 故的最小值为,最大值为1. 12分(2)另解:令,则解得所以,而因此,即最大值是1,最小值是.3(本小题满分12分)函数的反函数为,数列和满足:,函数的图象在点处的切线在轴上的截距为. (1)求数列的通项公式;(2)若数列的项中仅最小,求的取值范围;(3)令函数,.数列满足:,且,(其中).证明:解:(1)令 解得 由 解得 函数的反函数则 得 是以2为首项,1为公差的等差数列,故3分(2) 在点处的切线方程为令得仅当时取得最小值, 的取值范围为6分(3) 所以 又因 则 显然8分10分