2020高考数学一轮复习 AB小练习 第十五章解析几何第三节圆的标准方程和一般方程（通用）

第三节 圆的标准方程和一般方程A组1若圆x2y22kx2y20(k>0)与两坐标轴无公共点，那么实数k的取值范围为_解析：圆的方程为(xk)2(y1)2k21，圆心坐标为(k，1)，半径r，若圆与两坐标无公共点，即，解得1<k<.2若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是_解析：由题意，设圆心(x0,1)，1，解得x02或x0(舍)，所求圆的方程为(x2)2(y1)21.3(2020年广东汕头调研)已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆x2y24在区域D内的弧长为_答案：4(2020年高考宁夏、海南卷改编)已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为_解析：圆C1：(x1)2(y1)21的圆心为(1,1)圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线xy10对称，解得圆C2的半径为1，圆C2的方程为(x2)2(y2)21.5(原创题)圆x2y24x2yc0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若APB90，则实数c的值是_解析：当APB90时，只需保证圆心到y轴的距离等于半径的倍由于圆的标准方程为(x2)2(y1)25c，即2，解得c3.6已知点A(3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l：xy30上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值，并求此时直线l2的方程解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则2，化简可得(x5)2y216即为所求(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图则直线l2是此圆的切线，连结CQ，则|QM|，当CQl1时，|CQ|取最小值，|CQ|4，此时|QM|的最小值为4，这样的直线l2有两条，设满足条件的两个公共点为M1，M2，易证四边形M1CM2Q是正方形，l2的方程是x1或y4.B组1(2020年福州质检)圆心在直线2x3y10上的圆与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，则圆的方程为_解析：所求圆与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，故线段AB的垂直平分线x2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x3y10上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得圆心坐标为(2,1)，进一步可求得半径为，所以圆的标准方程为(x2)2(y1)22.2(2020年扬州调研)若直线axby1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是_解析：直线axby1过点A(b，a)，abab1，ab，又OA，以O为圆心，OA长为半径的圆的面积：SOA2(a2b2)2ab，面积的最小值为.3(2020年高考上海卷改编)点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点轨迹方程是_解析：设圆上任一点坐标为(x0，y0)，则x02y024，连线中点坐标为(x，y)，则代入x02y024中得(x2)2(y1)21.4已知点P(1,4)在圆C：x2y22ax4yb0上，点P关于直线xy30的对称点也在圆C上，则a_，b_.解析：点P(1,4)在圆C：x2y22ax4yb0上，所以2ab10，点P关于直线xy30的对称点也在圆C上，所以圆心 (a,2)在直线xy30上，即a230，解得a1，b1.5已知圆的方程为x2y26x8y0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_解析：由题意知，圆心坐标为(3,4)，半径r5，故过点(3,5)的最长弦为AC2r10，最短弦BD24，四边形ABCD的面积为20.6过圆x2y24外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点为A、B，则ABP的外接圆的方程是_解析：圆心为O(0,0)，又ABP的外接圆就是四边形OAPB的外接圆其直径dOP2，半径r.而圆心C为(2,1)，外接圆的方程为(x2)2(y1)25.7已知动点P(x，y)满足x2y2|x|y|0，O为坐标原点，则PO的取值范围是_解析：方程x2y2|x|y|0可化为(|x|)2(|y|)2.所以动点P(x，y)的轨迹如图：为原点和四段圆孤，故PO的取值范围是01， 8(2020年安徽合肥质检)曲线f(x)xlnx在点P(1,0)处的切线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是_解析：曲线f(x)xlnx在点P(1,0)处的切线l方程为xy10，与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为(，)，半径为，所以方程为(x)2(y)2.答案：(x)2(y)29设实数x、y满足x2(y1)21，若对满足条件的x、y，不等式c0恒成立，则c的取值范围是_解析：由题意，知c恒成立，又表示圆上的点与定点(3,0)连线的斜率，范围为，0，所以c，即c的取值范围是c.10如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a,0)(a>0)，B(0，a)，C(4,0)，D(0,4)，设AOB的外接圆圆心为E.(1)若E与直线CD相切，求实数a的值；(2)设点P在圆E上，使PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的E是否存在，若存在？求出E的标准方程；若不存在，说明理由解：(1)直线CD方程为yx4，圆心E(，)，半径ra.由题意得a，解得a4.(2)|CD|4，当PCD面积为12时，点P到直线CD的距离为3.又圆心E到直线CD距离为2(定值)，要使PCD的面积等于12的点P有且只有三个，只须圆E半径5，解得a10，此时，E的标准方程为(x5)2(y5)250.11在RtABO中，BOA90，OA8，OB6，点P为它的内切圆C上任一点，求点P到顶点A、B、O距离的平方和的最大值和最小值解：如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立直角坐标系xOy，则A(8,0)，B(0,6)，内切圆C的半径r(OAOBAB)2.内切圆C的方程为(x2)2(y2)24.设P(x，y)为圆C上任一点，点P到顶点A、B、O的距离的平方和为d，则dPA2PB2PO2(x8)2y2x2(y6)2x2y23x23y216x12y1003(x2)2(y2)24x76.点P(x，y)在圆C上，(x2)2(y2)24.d344x76884x.点P(x，y)是圆C上的任意点，x0,4当x0时，dmax88；当x4时，dmin72.12(2020年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)x22xb(xR)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论解：(1)显然b0.否则，二次函数f(x)x22xb的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0)，(2,0)，这与题设不符由b0知，二次函数f(x)x22xb的图象与y轴有一个非原点的交点(0，b)，故它与x轴必有两个交点，从而方程x22xb0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式44b>0，即b<1.所以b的取值范围是(，0)(0,1)(2)由方程x22xb0，得x1.于是，二次函数f(x)x22xb的图象与坐标轴的交点是(1，0)，(1，0)，(0，b)设圆C的方程为x2y2DxEyF0.因圆C过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C的方程，得解上述方程组，因b0，得所以，圆C的方程为x2y22x(b1)yb0.(3)圆C过定点证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x02y022x0y0b(1y0)0.(*)为使(*)式对所有满足b<1(b0)的b都成立，必须有1y00，结合(*)式得x02y022x0y00.解得或经检验知，点(0,1)，(2,1)均在圆C上，因此，圆C过定点