2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文（北京卷含答案）(1)（通用）
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合A=(|<2),B=2,0,1,2,则（A）0,1（B）1,0,1（C）2,0,1,2（D）1,0,1,2（2）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）（B） （C）（D） （4）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（5）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率f，则第八个单音频率为（A） （B）（C） （D）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A）1（B）2（C）3（D）4（7）在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是 （A） （B）（C）（D） （8）设集合则（A）对任意实数a， （B）对任意实数a，（2,1）（C）当且仅当a<0时,（2,1）（D）当且仅当 时,（2,1）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）设向量a=（1,0），b=（1,m）,若，则m=_.（10）已知直线l过点（1,0）且垂直于轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_.（11）能说明“若ab，则”为假命题的一组a，b的值依次为_.（12）若双曲线的离心率为，则a=_.（13）若,y满足，则2y的最小值是_.（14）若的面积为,且C为钝角，则B=_；的取值范围是_.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）设是等差数列，且.（）求的通项公式；（）求.（16）（本小题13分）已知函数.（）求的最小正周期； （）若在区间上的最大值为，求的最小值.（17）（本小题13分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； （）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）（18）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.（）求证：PEBC；（）求证：平面PAB平面PCD；（）求证：EF平面PCD.（19）（本小题13分）设函数.（）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（）若在处取得极小值，求a的取值范围.（20）（本小题14分）已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（）求椭圆M的方程；（）若，求 的最大值；（）设，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点 共线，求k.参考答案1A2D3B4B5D6C7C8D9 10 11（答案不唯一） 124133 14 15（共13分）解：（I）设等差数列的公差为，又，.（II）由（I）知，是以2为首项，2为公比的等比数列.16.（共13分）【解析】（），所以的最小正周期为.（）由（）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为.17.（共13分）（）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.第四类电影中获得好评的电影部数是2000.25=50，故所求概率为.（）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是1400.4+500.2+3000.15+2000.25+8000.2+5100.1=56+10+45+50+160+51=372.故所求概率估计为.方法二：设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.没有获得好评的电影共有1400.6+500.8+3000.85+2000.75+8000.8+5100.9=1628部.由古典概型概率公式得.（）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.18.（共14分）【解析】（），且为的中点，.底面为矩形，.（）底面为矩形，.平面平面，平面.又, 平面，平面平面.（）如图，取中点，连接.分别为和的中点，且.四边形为矩形，且为的中点，且，四边形为平行四边形，.又平面，平面，平面.19. （13分）解：（）因为，所以.，由题设知，即，解得.（）方法一：由（）得.若a>1，则当时，；当时，.所以在x=1处取得极小值.若，则当时，所以.所以1不是的极小值点.综上可知，a的取值范围是.方法二：.（1）当a=0时，令得x=1.随x的变化情况如下表：x1+0极大值在x=1处取得极大值，不合题意.（2）当a>0时，令得.当，即a=1时，在上单调递增，无极值，不合题意.当，即0<a<1时，随x的变化情况如下表：x1+00+极大值极小值在x=1处取得极大值，不合题意.当，即a>1时，随x的变化情况如下表：x+00+极大值极小值在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.（3）当a<0时，令得.随x的变化情况如下表：x0+0极小值极大值在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为.20（共14分）【解析】（）由题意得，所以，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为（）设直线的方程为，由消去可得，则，即，设，则，则，易得当时，故的最大值为（）设，则 ， ，又，所以可设，直线的方程为，由消去可得，则，即，又，代入式可得，所以，所以，同理可得故，因为三点共线，所以，将点的坐标代入化简可得，即
