EM第9讲静电旋度电位

Research Institute of RF Wireless Techniques 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 Electromagnetic fields and electromagnetic waves 第9讲静电场第9讲静电场 静电场的无旋性与电位函数静电场的无旋性与电位函数 黄惠芬 华南理工大学电子与信息学院 射频与无线技术研究所 TEL 15360068207 Email huanghf Research Institute of RF Wireless Techniques South China University of Technology 第9讲内容 静电场的无旋性静电场的无旋性 电位电位 例题例题 电力线与等位面电力线与等位面 Research Institute of RF Wireless Techniques South China University of Technology 9 1 静电场的旋度 静电场是一个矢量 根据静电场是一个矢量 根据Helmholtz定理 矢量由它的旋度和 散度唯一确定 定理 矢量由它的旋度和 散度唯一确定 首先 求静电场的旋度 按说 由于已知了电场强度的表示 式 可以直接计算旋度 不过 利用一些技巧 可以简化计算 首先 求静电场的旋度 按说 由于已知了电场强度的表示 式 可以直接计算旋度 不过 利用一些技巧 可以简化计算 注意到 注意到 于是 电场可写为于是 电场可写为 我们已经知道 因此 我们已经知道 因此 3 1 rr rr rr 0 1 4 q E rr 0u 0E 静电场是 无旋场 静电场是 无旋场 Research Institute of RF Wireless Techniques South China University of Technology 静电场的性质 静电场的性质 静电场中任意两点间的电场路径积分与路径无关静电场中任意两点间的电场路径积分与路径无关 在静电场中沿任何闭合曲线绕一周移动点电荷 电场力所 做的功为零 这意味着静电场的能量只与点电荷的位置有 关 故静电场是保守场 在静电场中沿任何闭合曲线绕一周移动点电荷 电场力所 做的功为零 这意味着静电场的能量只与点电荷的位置有 关 故静电场是保守场 0 CS E dlE dS 0 0 CC F dlqE dl 9 1 静电场的旋度 Research Institute of RF Wireless Techniques South China University of Technology 推导 推导 由于路径pmQ PnQ的任意性 故线积分与积分路径无关 由于路径pmQ PnQ的任意性 故线积分与积分路径无关 静电场中的电场强度是某一标量场的梯度场 没有旋度 静电场中的电场强度是某一标量场的梯度场 没有旋度 9 1 静电场的无旋性 Research Institute of RF Wireless Techniques South China University of Technology 静电场的性质 静电场中任意两点间的电场路径积分与路径无关 在静电场中沿任何闭合曲线绕一周移动点电荷 电 场力所做的功为零 这意味着静电场的能量只与点 电荷的位置有关 故静电场是保守场 静电场中的电场强度是某一标量场的梯度场 没有 旋度 是无旋场 梯度场 0u 0E r 9 1 静电场的无旋性 Research Institute of RF Wireless Techniques South China University of Technology 9 2 电位 1 实际的物理意义 1 实际的物理意义 某点的E矢量表示在该点上某点的E矢量表示在该点上单位正电荷所受的电场力单位正电荷所受的电场力 如 如 方向所做的功 因此 积 的物理意义就是 方向所做的功 因此 积 的物理意义就是电场力将单位正电荷从点P移至点Q所做的功 电场力将单位正电荷从点P移至点Q所做的功 我 们 我 们定义此功为场中两点之间的电定义此功为场中两点之间的电 例如 在如图2 9所示的点电荷q的例如 在如图2 9所示的点电荷q的 电场中 PQ之间的电压为电场中 PQ之间的电压为 Research Institute of RF Wireless Techniques South China University of Technology 在球坐标系中 线元矢量在球坐标系中 线元矢量 P Q两点间的电压 或E的线积分 或电场力移动电荷所做的功仅 与P Q两点的位置有关 而与路径无关 P Q两点间的电压 或E的线积分 或电场力移动电荷所做的功仅 与P Q两点的位置有关 而与路径无关 9 2 电位 Research Institute of RF Wireless Techniques South China University of Technology 是一个是一个标量值标量值 且其积分量值与积分路径无 关 因此 对于一个给定的电场E 如果选取某 且其积分量值与积分路径无 关 因此 对于一个给定的电场E 如果选取某点Q作为参考点 点Q作为参考点 则对于场中的任意则对于场中的任意考察点考察点有唯一的积 分值与动点相对应 故可定义此积分值为 有唯一的积 分值与动点相对应 故可定义此积分值为点P的标量 位 标量电位 点P的标量 位 标量电位 也即点P的电位定义为 也即点P的电位定义为 显然 参考点的电位为 显然 参考点的电位为 电位的单位与电压相同 也是V 伏 电位的单位与电压相同 也是V 伏 根据电位和电压的定义 场中A B两点的电压根据电位和电压的定义 场中A B两点的电压 9 2 电位 Research Institute of RF Wireless Techniques South China University of Technology 静电场中两点间的电压就是两点之间的电位差 静电场中两点间的电压就是两点之间的电位差 对于一个给定的电场 电位参考点的选取是任意的 一经确定参 考点 场中各点的电位值就完全确定 如果选择不同的参考点 场中各点的电位值都增加 或减少 同一个常数值 但电位函数的分 布规律不会变化 在实际工程中 常常把 对于一个给定的电场 电位参考点的选取是任意的 一经确定参 考点 场中各点的电位值就完全确定 如果选择不同的参考点 场中各点的电位值都增加 或减少 同一个常数值 但电位函数的分 布规律不会变化 在实际工程中 常常把大地大地表面作为电位参考 点 而在理论分析时 只要引起电场的全部电荷都处于有限的空 间区域内 则不管电荷如何分布 都可以选择 表面作为电位参考 点 而在理论分析时 只要引起电场的全部电荷都处于有限的空 间区域内 则不管电荷如何分布 都可以选择无穷远无穷远作为电位的 参考点 在这样的参考点选择下 场中任意点P x y z 的电位为 作为电位的 参考点 在这样的参考点选择下 场中任意点P x y z 的电位为 9 2 电位 Research Institute of RF Wireless Techniques South China University of Technology 物理意义 物理意义 点P的电位值为电场力将单位正电荷由点P移 至无穷远所做的功 点P的电位值为电场力将单位正电荷由点P移 至无穷远所做的功 或者外力将单位正电荷从无穷远 移至点P过程中克服电场力所需做的功 后者为外力做 功并将此功转变为 或者外力将单位正电荷从无穷远 移至点P过程中克服电场力所需做的功 后者为外力做 功并将此功转变为电场储能电场储能 前者则是电场力通过做 功而将其 前者则是电场力通过做 功而将其储能释放储能释放 以下计算真空中一个位于原点的点电荷q在离它R远处 的电位 设参考点在无穷远处 在式 2 20 中令点Q在 无穷远处 即 以下计算真空中一个位于原点的点电荷q在离它R远处 的电位 设参考点在无穷远处 在式 2 20 中令点Q在 无穷远处 即 9 2 电位 Research Institute of RF Wireless Techniques South China University of Technology 则任意场点r处的电位为 则任意场点r处的电位为 若点电荷q并非处于坐标原点 而是在源点有限 则只需将式 2 24 中的r换成源点 若点电荷q并非处于坐标原点 而是在源点有限 则只需将式 2 24 中的r换成源点 如果场源为N个点电荷 分布在有限区域内 则某一场点r处的电 位可根据上式应用叠加原理而得到 如果场源为N个点电荷 分布在有限区域内 则某一场点r处的电 位可根据上式应用叠加原理而得到 0 224 4 q r r 0 225 4 q rr 9 2 电位 Research Institute of RF Wireless Techniques South China University of Technology 对于有限区域中的分布电荷 可以应用叠加原理而得 电位与电场强度 对于有限区域中的分布电荷 可以应用叠加原理而得 电位与电场强度 3 0 0 1 d d 227 4 4 VV VV rrr E r rr r r rr 3 00 11 d d 228 4 4 SS SS SS rr E rr rr rr rr 3 00 11 d d 229 4 4 l ll ll rr E l rr rr rr rr 230 E 9 2 电位 Research Institute of RF Wireless Techniques South China University of Technology 例 例9 1 在真空中 在真空中xoy平面上有一半径为平面上有一半径为a的圆形 线电荷 其线密度为 求轴线上离圆心 的圆形 线电荷 其线密度为 求轴线上离圆心z处点处点 P 0 0 z 的电位和电场强度 的电位和电场强度 l 解 在圆上取一线 元 其上所带电荷为 解 在圆上取一线 元 其上所带电荷为 l dqdl dl 9 3 例题 Research Institute of RF Wireless Techniques South China University of Technology 由于电荷分布对称的对称性 该处的电场强度仅 有 由于电荷分布对称的对称性 该处的电场强度仅 有z方向的分量 即方向的分量 即 3 2 22 0 2 l zzzz az Ea Eaa z za 22 Rza 源点到场点源点到场点P的距离为的距离为 应用柱坐标系 点应用柱坐标系 点P电位为电位为 2 22220 0 0 1 4 2 a ll a dl zaza 9 3 例题 Research Institute of RF Wireless Techniques South China University of Technology 例 例5 2 求电荷密度 半径为 求电荷密度 半径为a的均匀带电圆 盘轴线上的电场强度 的均匀带电圆 盘轴线上的电场强度 S 解 在圆盘上取一半径为解 在圆盘上取一半径为r 宽度为 宽度为dr 的圆环的圆环 由于由于dr 很小 源点到场点很小 源点到场点P的距离即为的距离即为 圆环上的元电荷圆环上的元电荷 22 Rz r 2 S S dqr ddr r dr 9 3 例题 Research Institute of RF Wireless Techniques South China University of Technology 它在轴线上点它在轴线上点P的电位为的电位为 2222 00 2 42 SS rdrrdr d zrzr 22 220 0 0 2 2 a SS rdr zaz zr 电场强度为电场强度为 22 0 1 2 S zzzz z Ea Eaa z za 9 3 例题 Research Institute