2021届高考数学一轮复习课后限时集训利用导数解决函数的零点问题文北师大版

课后限时集训19利用导数解决函数的零点问题建议用时：45分钟1(2019全国卷)已知函数f(x)(x1)ln xx1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数解(1)证明：f(x)的定义域为(0，)f(x)ln x1ln x.因为yln x在(0，)上单调递增，y在(0，)上单调递减，所以f(x)在(0，)上单调递增又f(1)10，f(2)ln 20，故存在唯一x0(1,2)，使得f(x0)0.又当x<x0时，f(x)<0，f(x)单调递减，当x>x0时，f(x)>0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点(2)证明：由(1)知f(x0)<f(1)2，又f(e2)e23>0，所以，f(x)0在(x0，)内存在唯一根x.由>x0>1得1x0.又fln 10，故是f(x)0在(0，x0)的唯一根综上，f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数2已知函数f(x)x3x2axb.(1)当a1时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)的图像与直线yax恰有两个不同的交点，求实数b的值解(1)当a1时，f(x)x3x2xb，则f(x)3x22x1，由f(x)0，得x1或x，所以函数f(x)的单调递增区间为(，1)和.(2)函数f(x)的图像与直线yax恰有两个不同的交点，等价于f(x)ax0有两个不等的实根令g(x)f(x)axx3x2b，则g(x)3x22x.由g(x)0，得x或x0；由g(x)0，得x0.所以函数g(x)在和(0，)上单调递增，在上单调递减所以当x时，函数g(x)取得极大值gb；当x0时，函数g(x)取得极小值为g(0)b.要满足题意，则需gb0或g(0)b0，所以b或b0.3(2019武汉调研)已知函数f(x)exax1(aR)(e2.718 28是自然对数的底数)(1)求f(x)的单调区间；(2)讨论g(x)f(x)在区间0,1上零点的个数解(1)f(x)exax1，f(x)exa，当a0时，f(x)0恒成立，f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间；当a0时，令f(x)0，得xln a，令f(x)0，得xln a，f(x)的单调递减区间为(，ln a)，单调递增区间为(ln a，)(2)令g(x)0，得f(x)0或x，先考虑f(x)在区间0,1上的零点个数，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增且f(0)0，f(x)在0,1上有一个零点当ae时，f(x)在(，1)上单调递减，f(x)在0,1上有一个零点当1ae时，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a,1)上单调递增而f(1)ea1，当ea10，即1ae1时，f(x)在0,1上有两个零点；当ea10，即e1ae时，f(x)在0,1上有一个零点再考虑x时，由f0，得a2(1)综上所述，当a1或ae1或a2(1)时，g(x)在0,1上有两个零点；当1ae1且a2(1)时，g(x)在0,1上有三个零点.- 3 -