数学中考总复习：分式与二次根式--知识讲解（基础）

选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 中考总复习 分式与二次根式中考总复习 分式与二次根式 知识讲解 基础 知识讲解 基础 考纲要求 考纲要求 1 了解分式的概念 会利用分式的基本性质进行约分和通分 会进行分式的加 减 乘 除 乘方运 算 能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程 会解简单的可化为一元一次方程的分式方程 2 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简 运用二次根式的加 减 乘 除法的法则进行二 次根式的运算 知识网络 知识网络 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 考点梳理 考点梳理 考点一 分式的有关概念及性质考点一 分式的有关概念及性质 1 1 分式 分式 设 A B 表示两个整式 如果 B 中含有字母 式子就叫做分式 注意分母 B 的值不能为零 否则 分式没有意义 2 2 分式的基本性质分式的基本性质 M 为不等于零的整式 3 3 最简分式 最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式 如果分子分母有公因式 要进行约分化简 要点诠释 要点诠释 分式的概念需注意的问题 1 分式是两个整式相除的商 其中分母是除式 分子是被除式 而分数线则可以理解为除号 还 含有括号的作用 2 分式中 A和B均为整式 A可含字母 也可不含字母 但B中必须含有字母且不为 0 3 判断一个代数式是否是分式 不要把原式约分变形 只根据它的原有形式进行判断 4 分式有无意义的条件 在分式中 当B 0 时 分式有意义 当分式有意义时 B 0 当B 0 时 分式无意义 当分式无意义时 B 0 当B 0 且A 0 时 分式的值为零 考点二 分式的运算考点二 分式的运算 1 1 基本运算法则 基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似 具体运算法则如下 1 加减运算 同分母的分式相加减 分母不变 把分子相加减 异分母的分式相加减 先通分 化为同分母的分式 然后再按同分母分式的加减法则进行计算 2 乘法运算 两个分式相乘 把分子相乘的积作为积的分子 把分母相乘的积作为积的分母 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 3 除法运算 两个分式相除 把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘 4 乘方运算 分式乘方 分式的乘方 把分子分母分别乘方 2 2 零指数 零指数 3 3 负整数指数 负整数指数 4 4 分式的混合运算顺序 分式的混合运算顺序 先算乘方 再算乘除 最后加减 有括号先算括号里面的 5 5 约分 约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去 这种变形称为分式的约分 6 6 通分 通分 根据分式的基本性质 异分母的分式可以化为同分母的分式 这一过程称为分式的通分 要点诠释 要点诠释 约分需明确的问题 1 对于一个分式来说 约分就是要把分子与分母都除以同一个因式 使约分前后分式的值相等 2 约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式 其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公 因式的思考过程相似 在此 公因式是分子 分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积 通分注意事项 1 通分的关键是确定最简公分母 最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次 幂的积 2 不要把通分与去分母混淆 本是通分 却成了去分母 把分式中的分母丢掉 3 确定最简公分母的方法 最简公分母的系数 取各分母系数的最小公倍数 最简公分母的字母 取各分母所有字母因式的最高次幂的积 考点三 分式方程及其应用考点三 分式方程及其应用 1 1 分式方程的概念 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 2 2 分式方程的解法 分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母 即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 3 3 分式方程的增根问题 分式方程的增根问题 验根 因为解分式方程可能出现增根 所以解分式方程必须验根 验根的方法是将所得的根带入 到最简公分母中 看它是否为 0 如果为 0 即为增根 不为 0 就是原方程的解 4 4 分式方程的应用 分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似 但要稍复杂一些 解题时应抓住 找 等量关系 恰当设未知数 确定主要等量关系 用含未知数的分式或整式表示未知量 等关键环节 从而正确列出方程 并进行求解 另外 还要注意从多角度思考 分析 解决问题 注意检验 解释 结果的合理性 要点诠释 要点诠释 解分式方程注意事项 1 去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆 2 解完分式方程必须进行检验 验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中 看它是否为 0 如果为 0 即为增根 不为 0 就是原方程的解 列分式方程解应用题的基本步骤 1 审 仔细审题 找出等量关系 2 设 合理设未知数 3 列 根据等量关系列出方程 4 解 解出方程 5 验 检验增根 6 答 答题 考点四 二次根式的主要性质考点四 二次根式的主要性质 1 0 0 aa 2 2 0 aa a 3 2 0 0 aa aa a a 4 积的算术平方根的性质 00 abab ab 且 5 商的算术平方根的性质 00 aa ab b b 且 6 若 则 0ab ab 要点诠释 要点诠释 与与的异同点 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 1 不同点 与表示的意义是不同的 表示一个正数 a 的算术平方根的平方 而表示一个实数 a 的平方的算术平方根 在中 而中 a 可以是正实数 0 负实数 但与都是非负数 即 因而它的运算的结果是有差别 的 而 2 相同点 当被开方数都是非负数 即时 时 无意义 而 考点五 二次根式的运算考点五 二次根式的运算 1 1 二次根式的乘除运算 二次根式的乘除运算 1 运算结果应满足以下两个要求 应为最简二次根式或有理式 分母中不含根号 2 注意知道每一步运算的算理 2 2 二次根式的加减运算 二次根式的加减运算 先化为最简二次根式 再类比整式加减运算 明确二次根式加减运算的实质 3 3 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算 1 对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序 即先乘方 开方 再乘除 最后算加减 如有 括号 应先算括号里面的 2 二次根式的混合运算与整式 分式的混合运算有很多相似之处 整式 分式中的运算律 运算 法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用 要点诠释 要点诠释 怎样快速准确地进行二次根式的混合运算 1 明确运算顺序 先算乘方 再算乘除 最后算加减 有括号先算括号里面的 2 在二次根式的混合运算中 原来学过的运算律 运算法则及乘法公式仍然适用 3 在二次根式的混合运算中 如能结合题目特点 灵活运用二次根式的性质 选择恰当的解题途 径 往往能收到事半功倍的效果 1 加法与乘法的混合运算 可分解为两个步骤完成 一是进行乘法运算 二是进行加法运算 使 难点分散 易于理解和掌握 在运算过程中 对于各个根式不一定要先化简 可以先乘除 进行约分 达到化简的目的 但最后结果一定要化简 例如 没有必要先对进行化简 使计算繁琐 可以先根据乘法分配律进行 8 26 27 8 27 乘法运算 通过约分达到化简目的 884 266262 3 27273 2 多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用 如 利用了平方差公式 22 3232321 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 所以 在进行二次根式的混合运算时 借助乘法公式 会使运算简化 典型例题 典型例题 类型一 分式的意义类型一 分式的意义 1 使代数式 12 x x 有意义的x的取值范围是 A 0 x B 2 1 x C 0 x且 2 1 x D 一切实数 答案 C 解析 解不等式组 0 210 x x 得0 x且 2 1 x 故选 C 点评 代数式有意义 就是要使代数式中的分式的分母不为零 代数式中的二次根式的被开方数是 非负数 即需要x中的 x 0 分母中的 2x 1 0 举一反三 举一反三 高清课程名称 分式与二次根式 高清 ID 号 399347 关联的位置名称 播放点名称 例 1 变式变式 当x取何值时 分式有意义 值为零 12 9 2 2 xx x 答案 当时 分式有意义 即时 分式有意义 2 120 xx 12 9 2 2 xx x 34xx 且 12 9 2 2 xx x 当且时 分式值为零 2 9 0 x 2 120 xx 12 9 2 2 xx x 解得 且 即时 分式值为零 3x 34xx 且 3x 12 9 2 2 xx x 类型二 分式的性质类型二 分式的性质 2 已知 1 4x x 求下列各式的值 1 2 2 1 x x 2 2 42 1 x xx 答案与解析 1 因为 1 4x x 所以 2 2 1 4x x 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 即 2 2 1 216x x 所以 2 2 1 14x x 2 4242 2 22222 111 114 115 xxxx x xxxxx 所以 2 42 1 115 x xx 点评 观察 1 和已知条件可知 将已知等式两边分别平方再整理 即可求出 1 的值 对于 2 直接求 值很困难 根据其特点和已知条件 能够求出其倒数的值 这样便可求出 2 的值 举一反三 举一反三 变式变式 已知 111 abab 求 ba ab 的值 答案 由 111 abab 得 1 ab abab 所以 2 abab 即 22 abab 所以 22 1 baabab ababab 类型三 分式的运算类型三 分式的运算 3 计算 2 31221 2422aaaa 答案与解析 2 31221 2422aaaa 3 2 122 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3186 2 2 2 2 3 aaa aaaaaaaa aa aaaa 点评 异分母分式相加减 先根据分式的基本性质进行通分 转化为同分母分式 再进行相加减 在 通分时 先确定最简公分母 然后将各分式的分子 分母都乘以分母与最简公分母所差的因 式 运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式 举一反三 举一反三 高清课程名称 分式与二次根式 高清 ID 号 399347 关联的位置名称 播放点名称 例 2 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 变式变式 已知 化简求值 12 a 2 4 44 1 2 2 22 a a aa a aa a 答案 原式 4 2 2 1 2 2 2 a a a a aa a 4 1 2 12 aa a a a 1 2 1 4 1 2 4 aaaaa a 类型四 分式方程及应用类型四 分式方程及应用 4 如果方程 11 3 22 x xx 有增根 那么增根是 答案与解析 因为增根是使分式的分母为零的根 由分母20 x 或20 x 可得2x 所以增根是2x 答案 2x 点评 使分母为 0 的根是增根 5 为创建 国家卫生城市 进一步优化市中心城区的环境 德州市政府拟对部分路段的人行道 地砖 花池 排水管道等公用设施全面更新改造 根据市政建设的需要 须在 60 天内完成工程 现在 甲 乙两个工程队有能力承包这个工程 经调查知道 乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成 多用 25 天 甲 乙两队合作完成工程需要 30 天 甲队每天的工程费用 2500 元 乙队每天的工程费用 2000 元 1 甲 乙两个工程队单独完成各需多少天 2 请你设计一种符合要求的施工方案 并求出所需的工程费用 答案与解析 1 设甲工程队单独完成该工程需 x 天 则乙工程队单独完成该工程需 x 25 天 根据题意得 3030 1 5xx 2 方程两边同乘以 x x 25 得 30 x