高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件4 新人教A版选修1-1

第二章圆锥曲线与方程2 1椭圆2 1 1椭圆及其标准方程 自主预习 1 椭圆的定义 1 定义 平面内与两个定点F1 F2的距离之和等于 大于 F1F2 的点的轨迹 2 焦点 两个定点F1 F2 常数 3 焦距 两焦点间的距离 F1F2 4 几何表示 MF1 MF2 常数 且2a F1F2 2a 2 椭圆的标准方程 c 0 c 0 0 c 0 c a2 b2 c2 即时小测 1 椭圆 1的左 右焦点分别为F1 F2 点P在椭圆上 若 PF1 4 则 PF2 解析 由椭圆的定义知 PF1 PF2 6 所以 PF2 6 PF1 6 4 2 答案 2 2 椭圆25x2 16y2 400的焦点坐标为 焦距为 解析 把方程化为标准形式为 1 可知焦点在y轴上 则a2 25 b2 16 所以c2 25 16 9 则c 3 所以焦点为 0 3 焦距为2c 6 答案 0 3 6 知识探究 探究点1椭圆的定义1 平面内动点M到两定点F1 F2的距离之和等于常数 2a 且2a F1F2 若2a F1F2 则M的轨迹是什么 若2a F1F2 则M的轨迹是什么 提示 当2a F1F2 时 点M的轨迹是线段F1F2 当2a F1F2 时 点M的轨迹不存在 2 确定椭圆的标准方程需要知道哪些量 提示 a b的值及焦点所在的位置 归纳总结 对椭圆定义的三点说明 1 椭圆是在平面内定义的 所以 平面内 这一条件不能忽视 2 定义中到两定点的距离之和是常数 而不能是变量 3 常数 2a 必须大于两定点间的距离 否则轨迹不是椭圆 这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件 探究点2椭圆的标准方程1 在椭圆的标准方程中a b c一定成立吗 提示 不一定 只要a b a c即可 b c大小关系不定 2 根据椭圆方程 如何确定焦点位置 提示 把方程化为标准形式 x2 y2的分母哪个大 焦点就在相应的轴上 归纳总结 对椭圆标准方程的两点认识 1 标准方程的几何特征 椭圆的中心在坐标原点 焦点在x轴或y轴上 2 标准方程的代数特征 方程右边为1 左边是关于与的平方和 并且分母为不相等的正值 特别提醒 焦点所在坐标轴不同 其标准方程的形式也不同 类型一求椭圆的标准方程 典例 1 2016 武汉高二检测 过点 3 2 且与 1有相同焦点的椭圆的方程是 2 根据下列条件 求椭圆的标准方程 1 两个焦点坐标分别是 0 5 0 5 椭圆上一点P到两焦点的距离和为26 2 经过点两焦点间的距离为2 焦点在x轴上 解题探究 1 典例1中已知椭圆的焦点在哪个轴上 提示 椭圆的焦点在x轴上 因为已知方程中x2项的分母较大 2 典例2 1 中焦点在y轴上的椭圆标准方程是怎样的 典例2 2 中焦点在x轴上的椭圆标准方程是怎样的 提示 1 1 a b 0 2 1 a b 0 解析 1 选A 由方程 1可知 其焦点的坐标为 0 即c 设所求椭圆方程为 1 a b 0 因为过点 3 2 代入方程得 1 a b 0 解得a2 15 a2 3舍去 故方程为 1 2 1 因为椭圆的焦点在y轴上 所以设它的标准方程为 1 a b 0 因为2a 26 所以a 13 又c 5 所以b2 a2 c2 144 所以所求椭圆方程为 1 2 设椭圆的标准方程为 1 a b 0 因为焦点在x轴上 2c 2 所以a2 b2 1 又椭圆经过点所以 1 解得b2 3 所以a2 4 所以椭圆的标准方程为 1 延伸探究 将典例2 1 改为两个焦点坐标分别是 5 0 5 0 其他条件不变 求椭圆的标准方程 解析 因为椭圆的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 1 a b 0 因为2a 26 所以a 13 又c 5 所以b2 a2 c2 144 所以所求椭圆方程为 1 方法技巧 求椭圆标准方程的方法利用待定系数法求椭圆的标准方程 1 先确定焦点位置 2 设出方程 3 寻求a b c的等量关系 4 求a b的值 代入所设方程 特别提醒 若椭圆的焦点位置不确定 需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论 也可设椭圆方程为mx2 ny2 1 m n m 0 n 0 变式训练 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 焦点在x轴上 且a 4 c 2 2 经过点A 0 2 和 解析 1 a2 16 c2 4 所以b2 16 4 12 且焦点在x轴上 故椭圆的标准方程为 1 2 设所求椭圆的标准方程为Mx2 Ny2 1 M 0 N 0 M N 因为椭圆经过A 0 2 和两点 所以解得所以所求椭圆方程为x2 1 类型二椭圆的定义及应用 典例 2016 潍坊高二检测 设P是椭圆 1上一点 F1 F2是椭圆的焦点 若 F1PF2 60 求 F1PF2的面积 解题探究 1 你能写出 PF1 PF2 与 F1F2 的大小吗 提示 1 根据椭圆的定义即可写出 2 在 F1PF2中 怎样得到 F1F2 PF1 PF2 之间的关系式 提示 在 F1PF2中 利用余弦定理可以得到 F1F2 PF1 PF2 之间的关系式 解析 由椭圆方程知 a2 25 b2 所以c2 所以c 2c 5 在 PF1F2中 F1F2 2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos60 即25 PF1 2 PF2 2 PF1 PF2 由椭圆的定义得10 PF1 PF2 即100 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 得3 PF1 PF2 75 所以 PF1 PF2 25 所以 PF1 PF2 sin60 延伸探究 1 将典例中的 F1PF2 60 改为 F1PF2 30 其余条件不变 求 F1PF2的面积 解析 由椭圆方程知 a2 25 b2 所以c2 所以c 2c 5 在 PF1F2中 F1F2 2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos30 即25 PF1 2 PF2 2 PF1 PF2 由椭圆的定义得10 PF1 PF2 即100 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 得 2 PF1 PF2 75 所以 PF1 PF2 75 2 所以 PF1 PF2 sin30 2 2 将典例中椭圆的方程改为 1 其余条件不变 求 F1PF2的面积 解析 PF1 PF2 2a 20 又 F1F2 2c 12 由余弦定理知 2c 2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos60 即144 PF1 PF2 2 3 PF1 PF2 所以 PF1 PF2 所以 PF1 PF2 sin60 方法技巧 椭圆定义的应用技巧 1 椭圆的定义具有双向作用 即若 MF1 MF2 2a 2a F1F2 则点M的轨迹是椭圆 反之 椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a 2 涉及曲线上的点到焦点的距离问题时 应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解 拓展延伸 椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1 F2构成的 PF1F2 称为焦点三角形 解关于椭圆的焦点三角形的问题 通常要利用椭圆的定义 结合正弦定理 余弦定理等知识求解 补偿训练 如图所示 已知椭圆的方程为 1 若点P是椭圆上第二象限内的点 且 PF1F2 120 求 PF1F2的面积 解题指南 由椭圆定义和余弦定理可求得三角形边长 解析 由已知a 2 b 所以c 1 F1F2 2c 2 在 PF1F2中 由余弦定理 得 PF2 2 PF1 2 F1F2 2 2 PF1 F1F2 cos120 即 PF2 2 PF1 2 4 2 PF1 由椭圆定义 得 PF1 PF2 4 即 PF2 4 PF1 将 代入 解得 PF1 所以即 PF1F2的面积是 类型三与椭圆有关的轨迹问题 典例 1 2016 合肥高二检测 已知点M在椭圆 1上 MP 垂直于椭圆焦点所在的直线 垂足为P 并且M为线段PP 的中点 则P点的轨迹方程为 2 一动圆与已知圆O1 x 3 2 y2 1外切 与圆O2 x 3 2 y2 81内切 试求动圆圆心的轨迹方程 解题探究 1 典例1中动点P与哪个动点有关 本题可采用什么方法求动点P的轨迹方程 提示 动点P与点M有关 因为点M在已知椭圆上运动 所以本题可采用代入法求动点P的轨迹方程 2 典例2中两圆内切时能得到什么条件 提示 两圆内切时 两圆的圆心距等于两圆的半径之差 解析 1 设点P的坐标为 x y M点的坐标为 x0 y0 因为点M在椭圆 1上 所以 1 因为M是线段PP 的中点 所以把代入 1 得 1 即x2 y2 36 所以点P的轨迹方程为x2 y2 36 答案 x2 y2 36 2 两定圆的圆心和半径分别为O1 3 0 r1 1 O2 3 0 r2 9 设动圆圆心为M x y 半径为R 则由题设条件可得 MO1 1 R MO2 9 R 所以 MO1 MO2 10 而 O1O2 6 10 故由椭圆的定义知 M在以O1 O2为焦点的椭圆上 且a 5 c 3 所以b2 a2 c2 25 9 16 故动圆圆心的轨迹方程为 1 方法技巧 解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法 1 定义法 用定义法求椭圆方程的思路是 先观察 分析已知条件 看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义 若符合椭圆的定义 则用待定系数法求解即可 2 相关点法 代入法 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的 只要把所求动点的坐标 转移 到另一个动点在运动中所遵循的条件中去 即可解决问题 这种方法称为相关点法 易错警示 求轨迹方程时注意求得的方程中的自变量的取值范围 变式训练 已知圆A x 3 2 y2 100 圆A内一定点B 3 0 圆P过点B且与圆A内切 如图 求圆心P的轨迹方程 解析 设 PB r 因为圆P与圆A内切 圆A的半径为10 所以两圆的圆心距 PA 10 r 即 PA PB 10 而 AB 6 所以 PA PB AB 所以圆心P的轨迹是以A B为焦点的椭圆 所以2a 10 2c AB 6 所以a 5 c 3 所以b2 a2 c2 25 9 16 所以圆心P的轨迹方程为 1 补偿训练 已知两定点F1 1 0 F2 1 0 且 F1F2 是 PF1 与 PF2 的等差中项 求动点P的轨迹方程 解析 因为 F1F2 是 PF1 和 PF2 的等差中项 所以 PF1 PF2 2 F1F2 2 2 4 F1F2 所以P的轨迹应是以F1 F2为焦点的椭圆 这里c 1 a 2 所以b2 3 所以轨迹方程为 1 自我纠错椭圆方程的应用 典例 若方程 1表示椭圆 则m满足的条件是 失误案例 分析解题过程 找出错误之处 并写出正确答案 提示 错误的根本原因是忽视了在椭圆方程中a b这一条件 当a b时 方程表示圆 正确解答过程如下