三角函数的性质与图象

1三角函数的性质与图象一、复习要点三角函数的性质（包括三角公式）与图象是解答三角函数问题的知识基础；借助三角函数的图象来理解、掌握、运用三角函数的基本性质，是常用的复习方法 三角函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性、值域性质、关系性质（包括相等关系与不等关系）的判定与应用，是本节复习的重点；掌握好图形变换中，三角函数的图象、表达式及其性质的对应变化规律（要求能把这种规律迁移到一般函数理论中），是本节复习的又一重点，也是难点 二、例题讲解 例1（1）如果，（2），），且，那么必有（） （32）（32） （xx年高考文科试题） （2）满足（1）的取值范围是（） 1，（12）（12），00，（12）（122），1（xx年高考理科试题） （3）已知点P（，）在第一象限，则在0，2）内的取值范围是_.（xx年高考题） 讲解：（1）本题要用已知的正切函数与余切函数的大小关系，来推断角与的大小关系，回忆与这个问题紧密相关的基础知识与方法，若想到函数的单调性和利用单位圆作直观分析的方法，可理出如下推断方法： 图3-1在单位圆的第二象限中，让角、沿逆时针方向旋转，则看到：从开始单调递增到0，而从0开始单调递减向；若与重合在第二象限的角平分线上，则1立知当与在第二象限的上半象限中任意变化，即，（2），（34）时，总有；而，（34），）时，总有从而由，（2），），推出（32）选C 若想用解不等式的方法作推断，并在变形中巧用正切倍角公式，又得如下解法： ，（2），）， tgctg（1）1 10（tgtg）tg（）0， （）（）0 0， （）0，并推得（32）故选C 若考虑函数的单调性，由，得 （32） ，（2），），（32）（2），） 又在（2），）上是增函数， （32），故选 此题还可以用极限思想做推断：当（2），（2），且（2），（2）时，有tg，ctg0总有tgctg成立可见A、B、D均不成立，故选C（2）本题是关于反余弦函数的简单不等式解集的判定问题若想利用反余弦函数的图象来分析判定，则先想出或画出草图由图可知，反余弦函数在定义域1，1上单调递减，所以原不等式等价于1（12）（12）111，01111故而选图3-2若能注意到，在轴上x与1-x两点关于（12）点对称，则由图象立即看出x的取值范围是（12）1 若想利用特殊值法判定，则取（12），可排除、；取0，可排除 （3）本题的条件是几何型的，而目标却是求变量的取值范围，所以解答此题，应首先将几何型条件等价转化为不等式或不等式组，然后分析求解得出答案现分析解答如下 点P（sin，）在第一象限0，00在单位圆中分析易知：满足不等式的为第一、三象限角平分线左上方半圆中的角；满足不等式的角为第一或第三象限中的角图3-3故取以上两个的变化范围所对应的集合与区间0，2）的交集，即得的取值范围是（4），（2）（，（54） 例2把函数（）（其中为锐角）的图象至少向右平移（8）或至少向左平移（38），可使对应的函数成为奇函数则函数（）的一条对称轴为（） （2）（4） （8）（58） 讲解：从题目的条件可以发现这样两个信息：第一，此函数的周期为；第二，平移后函数图象过原点由前者得2；图象向右平移（8）后对应的函数解析式为2（8），由其过原点知（4）0，又为锐角，（4） 至此可得原函数为（2（4）再根据此类函数图象的性质：与平衡位置的交点为对称中心，过顶点作x轴的垂线即为对称轴经检验当（58）时此函数取最小值，故应选 例3（1）若函数（12）的值域为0，2，则的值为_ （2）设直线10?（0（2）求此直线的倾角；求（）（23）的值域 讲解：（1）对于此类结构式，一定是用的范围来确定的范围，途径有两条：一是化部分分式，将变元集中于分母（请独立思考）；二是将分离出来，用来反控的范围： （21）（），（21）（）1，平方并化简，得32（2）10由条件知此不等式的解为0，2，由韦达定理得1 （2）由题意知（）（2），0（2），（2） （）（23） （222） （22）sin 2（6）2（3）， 而（3）（3），（56），（）（1，2 例4在中，、为其三个内角，设2（）2 （1）若任意交换、的位置，的值是否发生变化?证明之； （2）求的最大值 讲解：（1）的值是否变化取决于其表达式是否为轮换对称式，为此注意到为使、对称，可将换为（）：2（）（）2（12）（22）（122）（32）（12）（222），故y的值不发生变化 （2）由于变量较多，故应考虑减少变元方法之一是研究这些变量之间的内在关系，之二是选取主元对前者，由于三角形的任意性，不易达到目的，对后者较明显的是以C为主元这时又有两种思维角度： 若运用函数思想，将视为的二次函数，用配方法（）2）2（）4）当（）2）0且（）1同时成立时取得最大值这时有且（3），即为正三角形时取最大值（94） 若运用方程思想，将原式变形为（）20，视此式为关于的一元二次方程，则（）480，即2（）4）（94），取等号的条件与上面相同 从本题可以看出，要善于运用数学的观点、思想、方法分析和思考问题，这是提高解题能力的有效途径 三、专题训练 1函数982的最大值是（） 17113 2若f（x）是周期为的奇函数，则f（x）可以是（）.A22x3若（-（2）（2），则（）.A（-（2），-（4）B（-（4），0）C（0，（4）D（4），（2） 4设y=f（x）的定义域为1，1，其反函数y=f（x）的图象如图34对于f（x）解析式的判定有如下四种：f（x）=arcsinx;f（x）=arcsinx+（2）;f（x）=arccos（-x）；f（x）=-arccosx.其中错误判定的个数是（）.图34A0B1C2D35把函数2（12）（6）的图象向轴均匀压缩，使图象上所有点的横坐标缩短到原来的（13）则图象所对应函数的最小正周期变为_ 6当（，（32）时，（）_ 7已知点P（sinx，cosx），角以OP为终边，且为第二象限角，那么函数y=tgx+tg的值域是_. 8设为锐角，试比较2与（4）的大小 9已知（0，2），且20，求的取值范围 10设0（2），（），（） （1）当为何值时，（）有最大值? （2）若（）（85），求（）、的值