2021版高考数学一轮复习第十章平面解析几何10.9.1圆锥曲线中求值与证明问题练习理北师大版
10.9.1 圆锥曲线中求值与证明问题核心考点精准研析考点一求值问题1.(2020西安模拟)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线,且都过B点,它们的离心率分别为e1,e2,则1e12+1e22=()A.32B.2C.52D.32.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,直线AB垂直于x轴,F为抛物线的焦点,射线BF交抛物线的准线于点C,且|AB|=455|AF|,AFC的面积为25+2,则p的值为()A.2B.1C.2D.43.(2019天津高考)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为55. (1)求椭圆的方程.(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OPMN,求直线PB的斜率.【解析】1.选B.如图,由题意,设椭圆的长半轴为a1,双曲线的半实轴为a2,根据椭圆和双曲线定义:|AB|+|BC|=2a1,|BC|-|AB|=2a2,可得|BC|=a1+a2,|AB|=a1-a2,设AC=2c,在直角三角形ABC中,由勾股定理可得,4c2=(a1-a2)2+(a1+a2)2 ,即a12+ a22= 2c2,即1e12+1e22=2.2.选C.过点A作AH垂直于准线,垂足为H,作CG垂直于AB,垂足为G,根据抛物线的定义|AH|=|AF|,CEAB,因此|DE|=|AH|=|CG|=|AF|,由SAFC=SABC-SAFB,SABC=12|AB|CG|=|AD|CG|,SAFB=12|AB|DF|=|AD|DF|,得SAFC=|AD|CG|-|AD|DF|=|AD|(|CG|-|DF|),=|AD|(|DE|-|DF|)=|AD|EF|,又|DE|=|AF|=5|DF|,则|EF|=(5-1)|DF|,|AD|=2|DF|=2|EF|5-1=5+12|EF|,可得SAFC=5+12|EF|2,又因为SAFC=25+2,所以|EF|=2,因为EF正好是焦点到准线的距离,即p=2.3.(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,ca=55,又a2=b2+c2,可得a=5,b=2,c=1.所以,椭圆的方程为x25+y24=1.(2)由题意,设P(xP,yP)(xP0),M(xM,0).设直线PB的斜率为k(k0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立y=kx+2,x25+y24=1,整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-20k4+5k2,代入y=kx+2得yP=8-10k24+5k2,进而直线OP的斜率yPxP=4-5k2-10k.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-2k.由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-k2.由OPMN,得4-5k2-10k-k2=-1,化简得k2=245,从而k=2305.所以直线PB的斜率为2305或-2305.1.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长:|P1P2|=1+k2|x1-x2|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=1+1k2(y1+y2)2-4y1y2=1+1k2|y1-y2|.(2)斜率不存在时,可求出交点坐标,直接求解(利用两点间距离公式).2.平面图形面积的求解,首先根据题意确定平面图形的形状,然后确定其面积的表达式,求出相关的度量弦长、距离等,最后代入公式求解即可.3.条件求值,主要是将已知条件坐标化,列出对应的方程,通过解方程(组)求值.秒杀绝招题1中可以利用赋值法简化求解过程,减少计算量.不妨设直角三角形ABC三边长度分别为3,4,5.则椭圆与双曲线的焦距2c=5,则在椭圆中,2a1=3+4=7,故e1=57;在双曲线中,2a2=|3-4|=1,故e1=5.所以1e12+1e22=1572+152=2.考点二证明问题命题精解读1.考什么:(1)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).(2)考查数学运算与逻辑推理的核心素养以及函数与方程、转化与化归的数学思想方法等.2.怎么考:以直线和圆锥曲线的位置关系为背景,考查角度与长度关系的证明,直线平行、垂直、三点共线等位置关系的证明等.3.新趋势:等量关系的证明与三角函数等知识的结合,如证明角度相等.学霸好方法1.解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等直接进行证明.2.交汇问题:数量关系的问题,多与其他模块知识相结合,如三角函数、向量以及函数相关知识等.证明数量关系【典例】(2019北京模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),离心率为12.A为椭圆C的左顶点,P,Q为椭圆C上异于A的两个动点,直线AP,AQ与直线l:x=4分别交于M,N两点. (1)求椭圆C的方程.(2)若PAF与PMF的面积之比为15,求M的坐标.(3)设直线l与x轴交于点R,若P,F,Q三点共线,求证:MFR=FNR.【解题导思】序号题目拆解(1)根据已知条件求标准方程中的参数值由题意得c=1,结合离心率求得a,再由隐含条件求得b,则椭圆方程可求.(2)求AP与AM的关系将两个三角形面积比转化为AP与AM的关系.求M的纵坐标利用向量关系建立坐标的方程求解.(3)求R点坐标直线l与x轴的交点求P点坐标联立方程组求解,利用根与系数的关系求得P的坐标建立点的坐标之间的关系利用三点共线斜率相等建立坐标关系证明数量等式证明两个角的三角函数(正切)值相等,范围相等.【解析】(1)由题意得c=1,ca=12, 解得a=2,c=1.因为a2-b2=c2,所以b2=3.所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)因为PAF与PMF的面积之比为15,所以|AP|=15|PM|.所以AP=16AM.设M(4,m)(m0),P(x0,y0),则(x0+2,y0)=16(6,m),解得x0=-1,y0=m6.将其代入x24+y23=1,解得m=9.所以M的坐标为(4,9)或(4,-9).(3)设M(4,m),N(4,n),P(x0,y0),由题知R(4,0),若m=0,则P为椭圆C的右顶点,由P,F,Q三点共线知,Q为椭圆C的左顶点,不符合题意.所以m0.同理n0.直线AM的方程为y=m6(x+2).由y=m6(x+2),x24+y23=1, 消去y,整理得(27+m2)x2+4m2x+(4m2-108)=0.=(4m2)2-4(27+m2)(4m2-108)>0成立.由-2x0=4m2-10827+m2,解得x0=54-2m227+m2.所以y0=m6(x0+2)=18m27+m2.所以P54-2m227+m2,18m27+m2.当PFx轴时,即|m|=3时,|n|=3,54-2m227+m2=1,由椭圆的对称性可得|MR|=|FR|=|NR|=3.又因为MRF=NRF=90,所以MFR=FNR=45.当直线PQ与x轴不垂直时,|m|3,|n|3,直线FP的斜率kFP=18m27+m2-054-2m227+m2-1=6m9-m2.同理kFQ=6n9-n2.因为P,F,Q三点共线,所以6m9-m2=6n9-n2.所以mn=-9.在RtMRF和RtNRF中,tanMFR=|MR|FR|=|m|3,tanFNR=|FR|NR|=3|n|=|m|3,所以tanMFR=tanFNR.因为MFR,FNR均为锐角,所以MFR=FNR.综上,若P,F,Q三点共线,则MFR=FNR.数量关系证明的一般方法是什么?提示:数量关系的证明,一般采用直接法,即直接利用坐标运算进行证明.当然要结合函数的一些性质,如该题就是先证明两个角的正切函数值相等,而且角的范围是正切函数的单调区间,所以两角相等.证明位置关系【典例】(2019大连模拟)设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若椭圆E的离心率为12,ABF2的周长为16. (1)求椭圆E的方程.(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C,D,设弦AB,CD的中点分别为M,N.证明:O,M,N三点共线.【解题导思】序号题目拆解(1)求标准方程中的参数根据已知离心率与三角形的周长列方程组求参数(2)求直线OM的斜率根据点差法,建立弦AB的中点M与直线AB的斜率之间的关系,从而求得直线OM的斜率求直线ON的斜率根据点差法,建立弦CD的中点N与直线AB的斜率之间的关系,从而求得直线ON的斜率证明三点共线证明两直线OM,ON斜率相等【解析】(1)由题意知,4a=16,a=4.又因为e=12,所以c=2,b=16-4=23,所以椭圆E的方程为x216+y212=1.(2)当直线AB、CD的斜率不存在时,由椭圆的对称性知,中点M,N在x轴上,O,M,N三点共线;当直线AB,CD的斜率存在时,设其斜率为k(k0),且设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).则x1216 + y1212 = 1,x2216 + y2212 = 1,相减得x12-x2216 =- y12-y2212,所以y1-y2x1-x2y1+y2x1+x2=-34,即y1-y2x1-x2y0x0=-34,即kkOM=-34,所以kO M=-34k;同理可得kO N=-34k,所以kO M=kO N,所以O,M,N三点共线.位置关系的证明的一般思路是什么?提示:位置关系的证明,多通过位置关系的坐标化处理,将其转化为数量关系的证明,故一般多利用直接证明方法,即直接通过代数运算证明.1.(2020济南模拟)已知抛物线W:x2=2py(p>0)的焦点为F,点A在W上,AF的中点坐标为(2,2).(1)求抛物线W的方程.(2)若直线l与抛物线W相切于点P(异于原点),与抛物线W的准线相交于点Q,证明:FPFQ.【解析】(1)由题知F0,p2,设AxA,xA22p,因为AF的中点坐标为(2,2),所以xA+ 02= 2,xA22p+p22= 2,解得:xA=4,p=4.所以抛物线W的方程为:x2=8y.(2)由y=18x2,得y=14x,设点Px0,18x02(x00),则直线l的方程为y-18x02= 14x0 (x-x0 ),即为y = 14x0 x-18x02,令y=-2,得Qx02-162x0,-2,所以=x0,18x02-2,=x02-162x0,-4,所以=x0x02-162x0-418x02-2=0,所以FPFQ.2.(2020长沙模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两
