高中数学集合、函数单元复习教案 新课标 人教版 必修1(A)

集合、函数单元复习三维目标一、知识与技能掌握集合、函数的有关概念，能综合运用集合与函数的基本知识解决问题.对复合函数与抽象函数有新的认识.二、过程与方程培养学生分析、探究、思考的能力，进一步培养学生综合运用基本知识解决问题的能力.三、情感态度与价值观激发学生学习数学的兴趣，培养他们合作、交流、创新意识以及分类讨论、抽象理解能力.教学重点集合与函数的基本知识，含字母问题的研究，抽象函数的理解.教学难点分类讨论的标准、抽象函数的理解.教具准备多媒体课件、投影仪.课时安排2课时教学过程一、知识回顾（一）第一章知识点1.集合：集合的含义；表示法；元素与集合的关系.2.集合间的基本关系：子集；真子集；集合相等.3.集合的运算：并集；交集；补集.4.函数：函数的概念；三要素：定义域，值域，对应法则；映射概念.5.函数的表示：表示法：解析法，列表法，图象法；求函数的解析式；求函数的定义域；求一些简单函数的值域和最值.6.函数的单调性：函数单调性定义；单调函数的概念；单调区间；判断或证明函数单调性的方法；单调性的应用；利用函数的单调性求最值.7.函数的奇偶性：奇偶性的概念；奇偶性的定义域特征；判断函数奇偶性的步骤；奇偶性图象特征.8.函数的应用问题：解函数应用题的基本方法步骤；与几何图形有关的应用题的解法；与物理现象有关的应用题的解法；与社会生活有关的实际问题的解法.9.（1）解函数应用题的主要步骤是：“设”即分析题意设出变量；“列”即列出关系式，建设函数模型；“解”即运用函数的性质解出要求的量；“答”即回到原实际问题作答.（2）解实际问题的步骤用框图可表示为（3）当实际问题中的变量较多时，首先寻找所求量（y）与这些变量间的关系式，然后根据实际要求确定一个自变量（x），而其他变量通过题中条件再用x表示出来，用代入法即可得到函数模型y=f（x）.（二）方法总结1.证明集合相等的方法：ABAB；AB（两点必须同时具备）.2.相同函数的判定方法：定义域相同；对应法则相同（两点必须同时具备）.3.函数表达式的求法：定义法；换元法；待定系数法.4.函数的定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即得函数的定义域.常涉及到的依据为：分母不为0；偶次根式中被开方数不小于0；实际问题要考虑实际意义等.5.函数值域的求法：配方法（二次或四次）；判别式法；反表示法；换元法；不等式法；函数的单调性法.6.函数单调性的判定法：设x1、x2是所研究区间内的任两个自变量，且x1x2；判定f（x1）与f（x2）的大小；作差比较或作商比较.（注：做有关选择、填空题时，可采用复合函数单调性判定法，做解答题时必须用单调性定义和基本函数的单调性）7.函数奇偶性的判断：首先看函数的定义域是否关于原点对称，再看f（x）与f（x）的关系.（1）图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；利用函数图象的对称性描绘函数图象.（2）函数的应用举例（实际问题的解法）.a.解决应用问题的一般程序是：审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型.求模：求解数学模型，得到数学结论.还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义.b.建模类型：可化为一、二次函数的应用题的解法；可化为分段函数的应用题解法.8.常用函数的研究、总结与推广：（1）以二次函数为背景的函数问题（包括通过换元可转化为二次函数的问题）.（2）研究函数y=（）的图象性质.（3）研究函数y=x+的图象性质并推广.9.抽象函数（即不给出f（x）解析式，只知道f（x）具备的条件）的研究.（1）若f（a+x）=f（ax），则f（x）关于直线x=a对称.（2）若对任意的x、yR，都有f（x+y）=f（x）+f（y），可利用赋值法研究抽象函数的性质.二、讲解新课典型例题【例1】 集合A=x|x2mx80，B=x|x22mxn0，问能否找到两个实数m、n，使AB=x|4x5？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由.解：假设存在实数m、n满足条件.由题意可知，4是方程x2mx8=0的一根，由韦达定理知方程的另一根为2.m=4+（2）=2.B=x|x24xn0，A=x|x4或x2.由题意可知，5是方程x24xn0的一根，方程x24xn0的另一根为x0，则 综上，存在实数m=2，n=5满足题意.方法引导：本题通过集合与一元二次方程结合，给出一类开放性的问题，要求学生自己找出是否存在实数m、n能够满足题意.解题的关键就是能发现一元二次不等式解的特点.【例2】 设A=x|2xa，B=y|y=2x+3，xA，C=z|z=x2，xA，且CB，求实数a的取值范围.解：A=x|2xa，B=y|y=2x+3，xA=y|1y2a+3.又C=z|z=x2，xA，且C B，当2a0时，C=z|z=x2，xA=z|a2z4，得a，无解.当0a2时，C=z|0z4，得a.a2.当a2时，C=z|0za2，得1a3.2a3.综上a3.方法引导：本题是集合与二次函数相结合的问题，通过对a进行分类讨论，利用数轴分析集合间的包含关系来解决.【例3】 已知函数f（x）=，x1，+）.（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x1，+），f（x）0恒成立，试求实数a的取值范围.（1）解：当a=时，f（x）=x+ +2.设1x1x2，则f（x2）f（x1）=（x2x1）（1）.2x1x22，0，10.又x2x10，f（x2）f（x1）0，即f（x1）f（x2）.f（x）在区间1，+）上为增函数，则f（x）在区间1，+）上的最小值为f（1）=.（2）解法一：在区间1，+上，f（x）=0恒成立x2+2x+a0恒成立.设y=x2+2x+a，x1，+)，y=x2+2x+a=（x+1）2+a1在区间1，+)上递增，当x=1时，ymin=3+a.于是当且仅当ymin=3+a0时，函数f（x）0恒成立，故a3.解法二：f（x）=x+2，x1，+），当a0时，函数f（x）的值恒为正；当a0时，y=x+2与y=在1，+)上都是增函数.所以f（x）=x+2在1，+）上是增函数.故当x=1时，ymin=3+a，于是当且仅当ymin=3+a0时，函数f（x）0恒成立，故a3.方法引导：本题体现了函数思想在解题中的运用，第（1）题用函数单调性求函数的最小值，第（2）题用函数的单调性解决恒成立的问题.在第（2）题的解法一中，还可以这样解：要使x2+2x+a0恒成立，只要ax22x=（x+1）2+1恒成立，在1，+）上，由函数单调性得（x+1）2+13，所以只要a3.【例4】 已知f（x）=x2+ax+，x0，1，求f（x）的最大值g（a），且求g（a）的最小值.解：f（x）=x2+ax+=（x）2+，对称轴x=，x0，1，当0，即a0时，f（x）max=f（0）=+.当01，即0a2时，f（x）max=f（）=+.当1，即a2时，f（x）max=f（1）=.g（a）= 当a0时，+.当0a2时，+（a）2+.当a2时，1.g（a）min=.方法引导：本题是含参数的二次函数最值问题，通过对称轴x=的移动，对a进行分类讨论，得到的最大值g（a）是关于a的一个分段函数的形式，注意分段函数的最小值，是每一段最小值的最小值.【例5】 对于任意非零实数x、y，已知函数y=f（x）（x0）满足f（xy）=f（x）+f（y）.（1）求f（1），f（1）；（2）判断y=f（x）的奇偶性；（3）若y=f（x）在（0，+）上是增函数，且满足f（x）+f（x）0，求x的取值范围.解：（1）对于任意非零实数x、y，有f（xy）=f（x）+f（y），取x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0.取x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0.（2）对任意x0，取y=1，则f（x）=f（x）+f（1）=f（x）+0，即f（x）=f（x），f（x）是偶函数.（3）f（x）+f（x）0，fx（x）0.由f（x）是偶函数，得f（|x2x|）f（1）.又y=f（x）（x0）在（0，+）上是增函数，0|x2x|1.1x2x0或0x2x1.解得0x或x0或x.方法引导：本题求抽象函数的单调性与奇偶性，一般常用赋值法，给x、y取一些特殊的值，从而得到一些特殊的函数值，再结合函数的单调性与奇偶性的性质解题.【例6】 已知f（x），求y=f（x）+的值域.解：f（x），2f（x），1.12f（x）0，.0，.令t=，t0，则f（x）=（1t2）.y=（1t2）+t=（t1）2+1.由于t0，所以y.故函数y的值域为，.方法引导：本题利用换元法求函数的值域，设出新元以后必须给出新元的范围，对于的范围的研究通常由里向外，最后再根据二次函数的性质求值域.【例7】 如下图，灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽及两边坡总长度为a，边坡的倾斜角为60.（1）求横断面积y与底宽x的函数关系式；（2）已知底宽x，求横断面面积y的最大值和最小值.解：（1）分别过A、B作AE、BF垂直于CD，交CD于点E、F，ADC=BCD=60，且AB=x，AD=BC=.DE=CF=cos60=，AE=sin60=.y=（AB+CD）AE=（x+x+）=（a+3x）（ax）（0xa).（2）y=（x）2+a2，x，当x=时，ymax=a2；当x=时，ymin= a2.故横断面面积y的最大值为a2，最小值为a2.方法引导：本题是函数在几何图形方面的应用，运用几何图形的性质求出与面积有关的量（用x表示），根据面积公式列出关系式，这个过程就是建立数学模型，得到的函数是二次函数，但定义域不是R，而是实际的底宽，.【例8】 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图甲所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙的抛物线表示：（1）写出如图甲表示的市场售价与时间的函数关系式P=f（t）；写出如图乙表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）.（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg，时间单位：天）解：（1）由图甲可得市场售价与时间的函数关系为f（t）=